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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 71

Multiplicando a série de Taylor de e x e s e n   x , encontre os termos até x 5 da série de Taylor para e x s e n   x . Essa série é a parte imaginária da série para

e x ⋅   e i x   =   e ( 1   +   i ) x .

Utilize esse fato para conferir sua resposta. Para quais valores de x deve a série para e x s e n   x convergir?

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo beleza?

A primeira parte da questão é multiplicar a série de Taylor de e x e s e n   x para encontrar os termos até x 5 da série de Taylor para e x s e n   x e mostrar que o resultado é a parte imaginária de e x ⋅   e i x   =   e ( 1   +   i ) x .

Para começar, vamos relembrar as séries de e x e s e n   x :

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Multiplicando essas duas séries, obtemos

e x s e n   x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + . . . x - x 3 3 ! + x 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ e x s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅ + x x - x 3 3 ! + x 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅ + x 2 2 ! x - x 3 3 ! + x 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅

+ x 3 3 ! x - x 3 3 ! + x 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅ + x 4 4 ! x - x 3 3 ! + x 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ e x s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + x 2 - x 4 3 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + x 3 2 ! - x 5 2 ! 3 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + x 4 3 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + x 5 4 ! + ⋅ ⋅ ⋅

⇒ e x s e n   x = x + x 2 + x 3 - 1 3 ! + 1 2 ! + x 5 1 5 ! - 1 2 ! 3 ! + 1 4 !

⇒ e x s e n   x = x + x 2 + x 3 - 1 6 + 1 2 + x 5 1 120 - 1 12 + 1 24

⇒ e x s e n   x = x + x 2 + x 3 - 1 6 + 3 6 + x 5 1 120 - 10 120 + 5 120

⇒ e x s e n   x = x + x 2 + 1 3 x 3 - 1 30 x 5

Passo 3

Agora, vamos tentar obter a parte imaginária de   e ( 1   +   i ) x . Para isso, vamos substituir x por ( 1 + i ) x na expansão da exponencial

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Então,

e i x = ∑ n = 0 ∞ i n x n n ! = 1 + i x + i 2 x 2 2 ! + i 3 x 3 3 ! + i 4 x 4 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + i n x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora, multiplicamos as duas exponenciais para obter e ( 1   +   i ) x = e x ⋅   e i x   :

e ( 1   +   i ) x = e x ⋅   e i x   = 1 + x + x 2 2 !   + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋅ ⋅ ⋅   1 + i x + i 2 x 2 2 ! + i 3 x 3 3 ! + i 4 x 4 4 ! + . . .

⇒ e ( 1   +   i ) x = 1 ⋅ 1 + i x + i 2 x 2 2 ! + i 3 x 3 3 ! + i 4 x 4 4 ! + . . . + x 1 + i x + i 2 x 2 2 ! + i 3 x 3 3 ! + i 4 x 4 4 ! + . . .

+ x 2 2 ! 1 + i x + i 2 x 2 2 ! + i 3 x 3 3 ! + . . . + x 3 3 ! 1 + i x + i 2 x 2 2 ! + . . . + x 4 4 ! 1 + i x . . . + x 5 5 ! ( 1 + ⋯ )

⇒ e ( 1   +   i ) x = 1 + i x + i 2 x 2 2 ! + i 3 x 3 3 ! + i 4 x 4 4 ! + i 5 x 5 5 ! + . . . + x + i x 2 + i 2 x 3 2 ! + i 3 x 4 3 ! + i 4 x 5 4 ! + . . .

+ x 2 2 ! + i x 3 2 ! + i 2 x 4 2 ! 2 ! + i 3 x 5 2 ! 3 ! + . . . + x 3 3 ! + i x 4 3 ! + i 2 x 5 2 ! 3 ! + . . . + x 4 4 ! + i x 4 4 ! . . . + x 5 5 ! + ⋯

⇒ e ( 1   +   i ) x = 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! + . . . + x + i x 2 - x 3 2 ! - i x 4 3 ! + x 5 4 ! + . . .

+ x 2 2 ! + i x 3 2 ! - x 4 2 ! 2 ! - i x 5 2 ! 3 ! + . . . + x 3 3 ! + i x 4 3 ! - x 5 2 ! 3 ! + . . . + x 4 4 ! + i x 5 4 ! . . . + x 5 5 ! + ⋯

Como só queremos a parte imaginária, temos

I m e ( 1   +   i ) x = x - x 3 3 ! + x 2 - x 4 3 ! + x 3 2 ! - x 5 2 ! 3 ! + x 4 3 ! + x 5 5 ! + x 5 4 ! + . . .

I m e ( 1   +   i ) x = x + x 2 + 1 3 x 3 - 1 30 x 5 + . . .

Ufa, mostramos que e x   s e n   x é a parte imaginária de e ( 1   +   i ) x . E essa série converge para todo x .

Essa questão foi bem longa, acho que vou descansar um pouquinho aqui e te vejo na próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.

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