Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 30
Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada
Passo 1
E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos lá!
Para encontrar a série de Maclaurin da função , vamos relembrar algumas identidades trigonométricas e a série de Maclaurin para a função .
Primeiro, vamos reescrever a função usando uma identidade trigonométrica conhecida:
Agora, vamos lembrar a série de Maclaurin para a função . A série de Maclaurin é uma expansão em série de potências centrada em . A série de Maclaurin para é:
Nosso próximo passo é usar essa série para encontrar a série de .
Passo 2
Observe que a diferença entre e está no argumento da função cosseno. Para transformar a série de na série de , basta substituir por na série original:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir a função pela sua representação em série na função da questão. Logo:
E pronto! Chegamos à série de Maclaurin para a função .