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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 36

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.

36. l i m x   →   ∞ ( x + 1 )   s e n 1 x   +   1

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem?Então, bora lá para mais uma questão!

O raciocínio para resolver essa questão é obter uma série de potência para ( x + 1 )   s e n 1 x   +   1 e aplicar o limite a essa série. Para isso, vamos primeiro encontrar a série para 1 x   +   1 usando a série para o seno:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora, vamos trocar x por 1 x   +   1 :

s e n   1 x   +   1 = 1 x   +   1 - 1 3 ! 1 x   +   1 3 + 1 5 ! 1 x   +   1 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( - 1 ) n 1 ( 2 n + 1 ) ! 1 x   +   1 2 n + 1 + ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Agora que temos a expansão em série de s e n   1 x   +   1 , vamos multiplicar isso por 1 + x :

( 1 + x ) s e n   1 x   +   1 = 1 - 1 3 ! 1 x   +   1 2 + 1 5 ! 1 x   +   1 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( - 1 ) n 1 ( 2 n + 1 ) ! 1 x   +   1 2 n + ⋅ ⋅ ⋅

Prontinho, agora temos tudo pronto para calcular o limite. Então, se liga aí no próximo passo!

Passo 3

Aplicando o limite, ficamos com

l i m x   →   ∞ ( 1 + x ) s e n   1 x   +   1 = l i m x   →   ∞ 1 - 1 3 ! 1 x   +   1 2 + 1 5 ! 1 x   +   1 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( - 1 ) n 1 ( 2 n + 1 ) ! 1 x   +   1 2 n + ⋅ ⋅ ⋅

l i m x   →   ∞ ( 1 + x ) s e n   1 x   +   1 = 1 - l i m x   →   ∞ 1 3 ! 1 x   +   1 2 + l i m x   →   ∞ 1 5 ! 1 x   +   1 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + l i m x   →   ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! 1 x   +   1 2 n + ⋅ ⋅ ⋅

l i m x   →   ∞ ( 1 + x ) s e n   1 x   +   1 = 1

Ok, limite calculado, o nosso trabalho termina por aqui. Até a próxima!

Resposta

l i m x   →   ∞ ( 1 + x ) s e n   1 x   +   1 = 1

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