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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 35

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.

35. l i m x   →   ∞ x 2 ( e - 1 / x 2   -   1 )

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem? Bora lá para mais uma questão!

Vamos escrever x 2 ( e - 1 / x 2   -   1 ) como uma série de potências e calcular o limite. Para isso, temos que encontrar a série de e - 1 / x 2 . Mas, como fazer isso?

Vamos começar relembrando a série para a função exponencial

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Então, vamos trocar x por - 1 / x 2 para obter e - 1 / x 2 :

e - 1 / x 2 = 1 + - 1 x 2 + 1 2 ! - 1 x 2 2 +   ⋅ ⋅ ⋅   + 1 n ! - 1 x 2 n +   ⋅ ⋅ ⋅

e - 1 / x 2 = 1 - 1 x 2 + 1 2 ! x 4 +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n n ! x 2 n +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Usando a série do passo anterior, vamos subtrair 1 dela:

e - 1 / x 2 - 1 = 1 - 1 x 2 + 1 2 ! x 4 +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n n ! x 2 n +   ⋅ ⋅ ⋅ - 1

e - 1 / x 2 - 1 = - 1 x 2 + 1 2 ! x 4 +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n n ! x 2 n +   ⋅ ⋅ ⋅

Pronto, agora vamos multiplicar por x 2 para obter a função que queremos:

x 2 ( e - 1 / x 2   -   1 ) = x 2 - 1 x 2 + 1 2 ! x 4 +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n n ! x 2 n +   ⋅ ⋅ ⋅

x 2 ( e - 1 / x 2   -   1 ) =   - 1 + 1 2 ! x 2 +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n n ! x 2 n - 2 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 3

Por último, mas não menos importante, vamos aplicar o limite:

l i m x   →   ∞ x 2 ( e - 1 / x 2   -   1 ) = l i m x   →   ∞ - 1 + 1 2 ! x 2 +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n n ! x 2 n - 2 +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m x   →   ∞ x 2 ( e - 1 / x 2   -   1 ) = - 1 + l i m x   →   ∞ 1 2 ! x 2 +   ⋅ ⋅ ⋅   + l i m x   →   ∞ ( - 1 ) n n ! x 2 n - 2 +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m x   →   ∞ x 2 ( e - 1 / x 2   -   1 ) = - 1

Prontinho, conseguimos o limite! Até a próxima, galera!

Resposta

l i m x   →   ∞ x 2 ( e - 1 / x 2   -   1 ) = - 1

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