Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 54
O número de bactéria depois de horas em um laboratório experimental controlado é .
- Qual o significado da derivada de ? Quais são suas unidades?
- Suponha que haja uma quantidade ilimitada de espaço e nutrientes para a bactéria. Qual será maior: ou ? Se a oferta de nutrientes for limitada, isso afetaria sua conclusão? Explique.
Passo 1
Fala pessoal, beleza?
Vamo para mais uma questão sobre derivadas, e essa aqui é uma das conceituais! Nos é dada uma função que representa a quantidade de bactérias, em um ambiente controlado, após um tempo (em horas) e querem que tiremos algumas conclusões:
Por exemplo: qual o significado da derivada de ? Quais são suas unidades? E suponha que haja uma quantidade ilimitada de espaço e nutrientes para a bactéria. Qual será maior: ou ? Se a oferta de nutrientes for limitada, isso afetaria sua conclusão? Explique
Bora lá então!
Veja só! 😉
Passo 2
- Sabemos que toda a derivada é uma taxa de variação. Temos, então, que é uma taxa de variação, vai representar o crescimento das bactérias por hora!
- Nesse aqui temos dois casos – vamos analisar um de cada vez.
Como , teremos que representará a taxa de crescimento da população de bactérias, em , após um período .
Bora para o próximo item agora!
Passo 3
Caso as bactérias tenham recursos ilimitados para crescerem e se reproduzirem, então quanto mais bactérias tiverem, mais “filhos” podem ser produzidos e mais rápido vão crescer, concorda?
Então, a taxa de crescimento (após ) será beeeem maior que a taxa de crescimento (após ).
Caso a oferta de nutrientes seja limitada, aí não vai dar para se reproduzir adoidado não – Não vai ter comida para todo mundo!
Por causa disso, é possível que seja menor que : No início ta todo mundo se reproduzindo e depois isso vai parando de acontecer por causa dos recursos limitados, entendeu?
E aí! o que achou? Responde Aí! 😉
Resposta
- representará a taxa de crescimento da população de bactérias, em , após um período .
- Caso as bactérias tenham recursos ilimitados para crescerem e se reproduzirem, a taxa de crescimento (após ) será maior que a taxa de crescimento (após ). Isso porque quanto mais bactérias existirem, mais elas conseguerião se reproduzir. Caso a oferta de nutrientes seja limitada, é possível que seja menor que : a população não vai ter condições se reproduzri tão rápido quanto no início e seu crescimento começará a desacelerar.