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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 8

8. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com aceleração proporcional à velocidade. Admitindo-se que v 0 = 3 ,   v 1 = 2 e x 0 = 0 , determine a posição da partícula no instante t .

Passo 1

Primeiro, como dito no enunciado a aceleração ( a ) é proporcional a velocidade ( v ) , portanto, chamaremos α (alpha) a constante de proporcionalidade. Assim,

a = α v

Passo 2

Pelo conceito de física, sabemos que a aceleração é a derivada de velocidade com relação ao tempo, ou seja a = d v d t . Substituindo,

a = α v

d v d t = α v

Multiplicando os dois lados por d t .

d v d t d t = α v   d t

d v = α v   d t

Vamos separar as variáveis e integrar

d v = α v   d t

d v v = α   d t

∫ d v v = ∫ α   d t

ln ⁡ v = α t + k 1

Passo 3

Precisamos de uma função do tipo v ( t ) , para isolarmos o termo v na equação que encontramos iremos utilizar propriedades e ln ⁡ b = b . Logo, vamos aplicar a função exponencial dos dois lados.

ln ⁡ v = α t + k 1

e ln ⁡ v = e α t + k 1

v = e α t + k 1

Para melhorar, precisamos lembrar que a m + n = a m a n , então

v = e α t + k 1

v = e α t e k 1

Como k 1 é uma constante qualquer, podemos fazer e k 1 = k '

v = e α t e k 1

v = e α t k '

Logo,

v ( t ) = k ' e α t

Passo 4

Precisamos saber quanto vale k ' e α , então, vamos utilizar algumas as informações que nos foram dadas no enunciado de que v 0 = 3 e v 1 = 2 .

Para v 0 = 3 ,

v ( t ) = k ' e α t

v ( 0 ) = k ' e α * 0

v ( 0 ) = k ' e 0

v 0 = k ' = 3

Logo,

v ( t ) = 3 e α t

Agora, para v 1 = 2 ,

v ( t ) = 3 e α t

v 2 = 3 e α = 2

Aplicando a função logarítmica neperiana (ln) dos dois lados, temos

3 e α = 2   ⇒ ln ⁡ 3 e α = ln ⁡ 2

Usando as propriedades de logarítmicas log ⁡ a b = b log ⁡ a , log ⁡ a b = log ⁡ a - log ⁡ b , log ⁡ a b = log ⁡ a + log ⁡ b e ln ⁡ e = 1 .

ln ⁡ 3 + l n   e α = ln ⁡ 2

ln ⁡ 3 + α ln ⁡ e = ln ⁡ 2  

ln ⁡ 3 + α = ln ⁡ 2   ⇒ α = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 = ln ⁡ 2 3

Passo 5

Agora, para chegamos na função da posição, precisamos lembrar que a derivada da posição com relação ao tempo é igual a velocidade, ou seja, v = d x d t . Como já descobrimos o v , só precisamos substituir,

v = 3 e α t ,   o n d e   α = ln ⁡ 2 3

Substituindo v = d x d t .

v = 3 e α t

d x d t = 3 e α t

Separando as variáveis e integrando

d x = 3 e α t d t

∫ d x = ∫ 3 e α t d t  

x = 3 α e α t + k 2

Passo 6

Vamos descobrir o valor de k 2 , para isso usaremos o informação do enunciado que diz que x 0 = 0

x ( t ) = 3 α e α t + k 2

x ( 0 ) = 3 α e α * 0 + k 2

x 0 = 3 α + k 2 = 0   ⇒   k 2 =   - 3 α  

Ou seja,

x t = 3 α e α t - 3 α = 3 α ( e α t - 1 )

Onde, α = ln ⁡ 2 3

Resposta

Logo, a posição da partícula no instante t é

x t = 3 α e α t - 3 α = 3 α e α t - 1

Onde, α = ln ⁡ 2 3

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