Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.1 - Ex. 25
Para objetos pequenos, caindo devagar, a hipótese feita no texto sobre a resistência do ar ser proporcional à velocidade é boa. Para objetos maiores, caindo mais rapidamente, uma hipótese mais precisa é de que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade.
- Escreva uma equação diferencial para a velocidade de um objeto de massa em queda, supondo que a magnitude da força de resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade e que o sentido dessa força é o oposto ao da velocidade.
- Determine a velocidade limite após um longo período de tempo.
- Se , encontre o coeficiente de resistência do ar de modo que a velocidade limite seja .
- Usando os dados em (c), desenhe um campo de direções e compare-o com a Figura 1.1.3.
Passo 1
Para resolvermos esse problema vamos analisar as informações dadas no enunciado e tentar descrever uma equação que satisfaça todos os requisitos do problema. Além disso, para esse caso especifico, vamos apenas ajustar a equação para pequenos objetos em uma baixa velocidade. Vamos juntos!!
Passo 2
- Bom, o enunciado nos diz sobre um objeto com uma massa e uma velocidade relativamente alta. Dessa forma, temos que a resistência do ar não pode mais ser considerada apenas proporcional a velocidade e sim ao quadrado da velocidade. Temos que em uma queda livre, a equação que dita sua velocidade é
- Como temos uma força que limita a velocidade máxima que pode ser atingida, teremos que após um longo tempo a variação da velocidade será 0. Ou seja:
- Como estamos na velocidade limite, temos que . Queremos que a velocidade máxima seja de . Assim, temos que nossa equação fica
Porém, como não estamos em uma queda livre, teremos uma força a mais de resistência que que será dada por:
Onde é uma constante de proporcionalidade.
Passo 3
Assim, temos que a velocidade terminal será dada por
Passo 4
Passo 5
Como esperávamos, essa suposição faz com que para objetos grandes e em alta velocidade, para uma mesma massa, se atinja aproximadamente a mesma velocidade terminal.