Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 69

Use o roteiro para esboçar o gráfico da curva. No passo D, ache a equação para assíntota obliqua.

Passo 1

Falaaa aeee, vamos para mais uma questão?

Nós temos a função

E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.

A. Encontrar o domínio em que a função é definida.

B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

C. Verificar se há simetria par, isso é:

Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.

Verificar se há simetria ímpar, isso é:

D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.

Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:

Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.

Aqui também vamos procurar por assíntota oblíqua. Para isso basta dividir o numerador pelo denominador da função. O quociente encontrado se for uma função de primeiro grau é uma assíntota oblíqua.

E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce

E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce

F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.

Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.

Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.

G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva

E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa

Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.

H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.

Passo 2

O primeiro passo (A) é determinar o domino da função. Ou seja, os pontos onde não há problema, nesse caso, como a função esta bem definida em qualquer ponto não (estaríamos dividindo por zero, por exemplo ) , então

O segundo passo (B) é encontrar as interseções com os eixos coordenados.

-Com o eixo

E com o eixo temos:

Essa igualdade não é verdadeira para nenhum valor de .

Não intercepta o eixo

Passo 3

O terceiro passo (C) é determinar a simetria, ou seja, se a função é par ou ímpar. No nosso caso, a função não é par e nem ímpar, pois para temos que . Logo, nossa função é sem simetria.

Passo 4

O quarto passo (D) é encontrar as assíntotas.

Percebe que como está bem definida, então não temos assíntotas vertical.

Agora, precisamos achar a assíntota obliqua. Como,

Você não precisa se preocupar em fazer a divisão de polinômios. Basta perceber que aqui temos uma equação de reta que está multiplicando por uma função que quando tende a infinito ela tende a zero, logo: