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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.3 - Ex. 11c

Sejam u → = a 1 , b 1 , c 1 e v → = a 2 , b 2 , c 2 dois vetores R 3 . Definimos o produto vetorial de u → por v → , que se indica u → × v → , por

u → × v → = i → j → k → a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 = b 1 c 2 - c 1 b 2 i → + a 2 c 1 - a 1 c 2 j → + a 1 b 2 - a 2 b 1 k →

Onde i → = 1,0 , 0 , j → = 0,1 , 0 e k → = 0,0 , 1 . Verifique que

u → × v → + w → = u → × v → + u → × w → , onde w → = a 3 , b 3 , c 3

Passo 1

Primeiramente calculamos a soma v → + w →

v → + w → = a 2 + a 3 , b 2 + b 3 , c 2 + c 3

Calculando então o produto vetorial

u → × v → + w → = b 1 c 2 + c 3 - c 1 ( b 2 + b 3 ) i → + a 2 + a 3 c 1 - a 1 c 2 + c 3 j → + a 1 b 2 + b 3 - a 2 + a 3 b 1 k →

Fazendo as distributivas

= b 1 c 2 + b 1 c 3 - c 1 b 2 - c 1 b 3 i → + a 2 c 1 + a 3 c 1 - a 1 c 2 - a 1 c 3 j → + a 1 b 2 + a 1 b 3 - a 2 b 1 - a 3 b 1 k →

Podemos então separar em dois vetores

= b 1 c 2 - c 1 b 2 i → + a 2 c 1 - a 1 c 2 j → + a 1 b 2 - a 2 b 1 k → + b 1 c 3 - c 1 b 3 i → + a 3 c 1 - a 1 c 3 j → + a 1 b 3 - a 3 b 1 k →

E podemos observar que o primeiro vetor é u → × v → e o segundo é u → × w → , então, como iniciamos em u → × v → + w → , podemos afirmar que

u → × v → + w → = u → × v → + u → × w →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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