Enunciado

Paraquedismo. Se um corpo de massa m que cai sob a ação da gravidade, desde o repouso, encontra uma força de resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade, então, a velocidade do corpo após t segundos em queda satisfaz a equação

m d v d t   =   m g   -   k v 2 ,     k > O  

onde k é uma constante que depende das propriedades aerodinâmicas do corpo e da densidade do ar. (Supomos que a queda é muito breve para ser afetada por variações na densidade do ar.)

a. Desenhe uma reta de fase para a equação.

b. Esboce uma curva de velocidade típica.

c. No caso de um paraquedista com 110 libras de peso ( m g   =   110 ) e com o tempo em segundos e a distância em pés, um valor típico de k é 0,005 . Qual é a velocidade terminal do paraquedista? Repita o procedimento para um paraquedista com 200 libras de peso.

Passo 1

Para esboçarmos uma reta de fase para a equação precisamos primeiramente achar os pontos de equilíbrio, ou seja, os pontos onde d v d t = 0 . Assim,

m d v d t   =   m g   -   k v 2

Dividindo todo mundo por m temos

d v d t   =   g   - k v 2 m

g   - k v 2 m = 0 → k v 2 m = g → v 2 = m g k → v = m g k

Para avaliarmos a concavidade teremos que calcular a segunda derivada, dessa forma

d 2 v d t 2 =   - 2 k v m ⋅ d y d t = - 2 k v m ⋅ g   - k v 2 m

Então, nossa reta de fase será

Passo 2

A reta de velocidade típica é uma curva crescente que vai até uma reta assintótica horizontal que é a velocidade terminar dada por v = m g k . Dessa forma, nossa curva fica esboçada da seguinte forma

Passo 3

Para calcularmos a velocidade terminal, basta substituirmos os valores dados na equação, assim

V t e r m i n a l = 160 0.005 = 178,9   f t / s

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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