Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 1a

Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função dada:

f x = e x + e - x 2         ,   - 1 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Faaaaaaaaala aí, tudo certinho?

Vamos resolver mais um exercício proposto pelo meu digníssimo amigo Guidorizzi... É eu sei, às vezes ele pode ser um pouco difícil, mas vamos quebrar esse gelo juntos!

Nosso objetivo é calcular a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função dada:

f x = e x + e - x 2         ,   - 1 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Para calcular a área da superfície gerada por uma rotação do gráfico de f , em torno do eixo x é dada por:

A = 2 π ∫ - 1 1 f ( x ) 1 + f ' x 2 d x

O primeiro passo para resolver esse exercício é calcular a derivada da função:

f ' x = 1 2 e x + e - x '

f ' x = e x - e - x 2

E o termo ao quadrado é dado por:

E também:

1 + f ' x 2 = e 2 x + 2 + e - 2 x 4

= e x + e - x 2 2

Passo 3

Aplicando na fórmula da área, podemos ter:

A = 2 π ∫ - 1 1 e x + e - x 2 e x + e - x 2 2 d x

Simplificando:

= 2 π ∫ - 1 1 e x + e - x 2 2 d x

= 2 π ∫ - 1 1 1 2 2 e x + e - x 2 d x

Retirando a constante de dentro da integral:

= 2 π 4 ∫ - 1 1 e x + e - x 2 d x

= π 2 ∫ - 1 1 ( e x + e - x ) ( e x + e - x ) d x

= π 2 ∫ - 1 1 e 2 x + 2 + e - 2 x d x

Resolvendo:

= π 2 e 2 x 2 + 2 x - e - 2 x 2 - 1 1

Resolvendo os limites de integração teremos que:

= π 2 e 2.1 2 + 2.1 - e - 2.1 2 - π 2 e 2 ( - 1 ) 2 + 2 ( - 1 ) - e - 2 ( - 1 ) 2

Simplificando teremos:

A = π 2 ( e 2 + 4 - e - 2 )

Resposta

A = π 2 ( e 2 + 4 - e - 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

39 - Use o teorema de Pappus para área de superfície e o fato de que a área de superfície de uma esfera de raio a é 4 π a 2 para determinar o centroide do semicírculo y = a 2 - x 2
Nos Exercícios 45 e 46, use um teorema de Pappus para determinar o centroide do triângulo dado. Use o fato de que o volume de um cone de raio r e altura h é V = 1 3 π r 3 h .
38 - Use os teoremas de Pappus para determinar a área de superfície lateral e o volume e de um cone circular reto.
Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar a areada superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare a sua resposta com o valor fornecido pela sua calculadora. y = x e x ,0 ≤ x
Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . y = s e nπ x , 0 ≤ x ≤ 1