Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função dada:

f x = e x + e - x 2         ,   - 1 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Faaaaaaaaala aí, tudo certinho?

Vamos resolver mais um exercício proposto pelo meu digníssimo amigo Guidorizzi... É eu sei, às vezes ele pode ser um pouco difícil, mas vamos quebrar esse gelo juntos!

Nosso objetivo é calcular a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função dada:

f x = e x + e - x 2         ,   - 1 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Para calcular a área da superfície gerada por uma rotação do gráfico de f , em torno do eixo x é dada por:

A = 2 π ∫ - 1 1 f ( x ) 1 + f ' x 2 d x

O primeiro passo para resolver esse exercício é calcular a derivada da função:

f ' x = 1 2 e x + e - x '

f ' x = e x - e - x 2

E o termo ao quadrado é dado por:

E também:

1 + f ' x 2 = e 2 x + 2 + e - 2 x 4

= e x + e - x 2 2

Passo 3

Aplicando na fórmula da área, podemos ter:

A = 2 π ∫ - 1 1 e x + e - x 2 e x + e - x 2 2 d x

Simplificando:

= 2 π ∫ - 1 1 e x + e - x 2 2 d x

= 2 π ∫ - 1 1 1 2 2 e x + e - x 2 d x

Retirando a constante de dentro da integral:

= 2 π 4 ∫ - 1 1 e x + e - x 2 d x

= π 2 ∫ - 1 1 ( e x + e - x ) ( e x + e - x ) d x

= π 2 ∫ - 1 1 e 2 x + 2 + e - 2 x d x

Resolvendo:

= π 2 e 2 x 2 + 2 x - e - 2 x 2 - 1 1

Resolvendo os limites de integração teremos que:

= π 2 e 2.1 2 + 2.1 - e - 2.1 2 - π 2 e 2 ( - 1 ) 2 + 2 ( - 1 ) - e - 2 ( - 1 ) 2

Simplificando teremos:

A = π 2 ( e 2 + 4 - e - 2 )

Resposta

A = π 2 ( e 2 + 4 - e - 2 )

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