Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 04d
dois vetores tangentes unitários à trajetória de partícula em . Trace um esboço da trajetória da partícula e represente geometricamente os vetores e .
Passo 1
Dada da função vetorial da posição
e
Podemos encontrar a velocidade e aceleração a partir da função vetorial da posição aplicando derivadas. Olha:
Passo 2
Pra encontrar um vetor tangente à trajetória, a gente pode derivar nosso vetor posição fornecido pelo enunciado. Mas repara que a derivada da posição em função do tempo é a própria velocidade. Então, temos que
e aplicado no ponto t1, temos que
Então, o vetor
é um vetor tangente à trajetória. Mas calma!! O enunciado pede vetores que sejam tangentes e unitários… Pra gente fazer um vetor se tornar um vetor unitário, a gente pode dividi-lo pelo seu próprio módulo. Assim:
E, NESSE CASO, o nosso vetor já era unitário antes, e por isso não mudou nada depois de dividir pelo módulo. Mas esse foi um caso especial, ok?! Mas o enunciado pede dois vetores tangentes unitários… Mas pra gente achar outro, podemos malandramente multiplicar esse por -1.
Pronto! Agora temos dois vetores tangentes unitários à trajetória. São eles:
Passo 3
Agora bora esboçar a trajetória da partícula. A função vetorial da trajetória é essa aqui:
e talvez você lembre da relação fundamental da trigonometria:
e isso se parece muito com a equação da circunferência, né?
Então a gente pode concluir que no plano XY, o movimento da partícula é circular. Além disso, também sabemos que z = 2, uma constante. Então, nosso esboço fica assim:
Agora só falta a gente representar geometricamente os vetores e nesse esboço.A partícula tá sendo representada pelo objeto ali!
Passo 4
Os vetores e são:
Aplicando em :
E juntando-os ao nosso lindo esboço, fica assim
Onde a seta verde e vermelha representam, respectivamente, os vetores A(t1) e V(t1).
Resposta
