Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de um eixo s com função posição s = s ( t ) e função velocidade v t = s ' ( t ) . Use a informação dada para encontrar s ( t ) .

v t = 3 t ; s 4 = 1

Passo 1

Bom galera, o que a gente tem é na verdade um problema de valor inicial, onde no caso temos:

v t = d s d t

→ s = ∫ v t   d t

Então vamos começar integrando para achar s ( t ) :

s = ∫ 3 t   d t

→ s = 3 ∫ t 1 / 2   d t

Muito fácil resolver essa, é:

s = 3 ⋅ 2 3 t 3 2 + C

→ s = 2 t 3 + C

Passo 2

Beleza, agora o problema de valor inical, a gente usa o que temos para formar uma equação e encontrarmos o valor da constante C :

s ( 4 ) = 1 = 2 ( 4 ) 3 + C

→ 1 = 16 + C

→ C = 1 - 16 = - 15  

Passo 3

Show de bola pessoal, por fim a gente só substitui na integral que já calculamos no passo 1, e então ficamos com a função inicial:

s t = 2 t 3 - 15

Resposta

s t = 2 t 3 - 15

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Use qualquer método para encontrar o volume do sólido gerado quando a região delimitada pelas curvas gira em torno do eixo y . y = ln ⁡ x , y = 0 , x= 5
Use qualquer método para encontrar a área da região delimitada pelas curvas. y = x ln ⁡ x , y = 0 , x= 4
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