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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 5

Uma partícula move-se ao longo de um eixo s . Use a informação dada para encontrar sua função posição:

a )   v t = 3 t 2 - 2 t     s 0 = 1

b )   a t = 3 s e n   3 t ,     v 0 = 3 ,     s 0 = 3

Passo 1

Fala aí, como vai?

Pra essas questões você tem que ter em mente umas coisinhas sobre posição, velocidade e aceleração.

Resumindo pra você, é o seguinte:

s t = ∫ v t   d t

v t = ∫ a t   d t

Sabendo disso fica mais fácil né?

Bora lá então...

Passo 2

  1. Aqui a gente tem v ( t ) e quer s ( t ) . A gente já sabe que é só integrar:

    2. s t = ∫ 3 t 2 - 2 t   d t = 3 t 3 3 - 2 t 2 2 + C = t 3 - t 2 + C

    Agora a gente aplica a condição inicial de s 0 = 1 para achar o valor desse C aí:

    s 0 = 0 3 - 0 2 + C = 1

    C = 1

    Nossa função posição então é:

    s t = t 3 - t 2 + 1

    Passo 3

  2. Agora aqui a gente tem a aceleração e quer a posição.

Vamos por partes. Primeiro a gente vai achar a função velocidade, fechou?

Bora!

v t = ∫ 3   s e n   3 t   d t = - cos ⁡ 3 t + C

E a gente tem a condição de que v 0 = 3 . Então...

v 0 =   - cos ⁡ 3 0 + C = 3

=   - 1 + C = 3

C = 4

A função velocidade então é:

v t =   - cos ⁡ 3 t + 4

Passo 3

Agora que a gente tem a função velocidade, a gente integra e acha a função posição:

s t = ∫ - cos ⁡ 3 t + 4   d t =   - s e n 3 t 3 + 4 t + K

E usando a condição inicial que s 0 = 3 , a gente tem:

s 0 =   - s e n   3 0 3 + 4 0 + K = 3

K = 3

Então a função posição é:

s t = - s e n 3 t 3 + 4 t + 3  

E acabamos😉

Resposta

  1. s t = t 3 - t 2 + 1
  2. s t = - s e n 3 t 3 + 4 t + 3  
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