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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 28

Uma partícula move-se no plano de modo que, no instante t , sua posição é dada por:

r → t = 2 cos ⁡ t 2 ,   2 s e n t 2

  1. Calcular o vetor u → t = v → t v → t , onde v → ( t ) é o vetor velocidade da partícula no instante t .
  2. Mostrar que u → t e d u → d t são ortogonais.

Passo 1

  1. Bora matar mais essa questãozinha aí! A coisa mais importante que você tem que saber pra resolver é que o vetor velocidade é a derivada do vetor posição, ou seja:

    2. v → t = d r → t d t

    Então vamos começar derivando o vetor r → ( t ) :

    v → t = d d t 2 cos ⁡ t 2 ,   2 s e n t 2

    v → t = - s e n t 2 , cos ⁡ t 2

    Show, agora vamos calcular o módulo desse vetor:

    v → t = - s e n t 2 2 + cos ⁡ t 2 2

    v → t = s e n 2 t 2   + cos 2 ⁡ t 2

    Essa é a relação fundamental da trigonometria!

    v → t = 1

    Beleza, então o vetor u → é:

    u → t = v → t v → t = - s e n t 2 , cos ⁡ t 2 1

    u → ( t ) = - s e n t 2 , cos ⁡ t 2

    Passo 2

  2. Agora vamos calcular essa derivada de u → que ele falou.

d u → t d t = ( - cos ⁡ t 2 ,   - s e n t 2 )

Quando ele fala em ângulo entre vetores, e no caso ele falou que os vetores são ortogonais, o que ele tá pedindo é pra calcular o produto escalar! Se o produto escalar der 0 , isso significa que os dois vetores são perpendiculares. Vamos checar isso!

u → t ⋅ d u → t d t = - s e n t 2 , cos ⁡ t 2 ⋅ ( - cos ⁡ t 2 ,   - s e n t 2 )

u → t ⋅ d u → t d t = - s e n t 2 - cos ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 - s e n t 2

Então,

u → t ⋅ d u → t d t = 0

Como o produto escalar deu 0 , então eles são perpendiculares!

Resposta

  1. u → ( t ) = - s e n t 2 , cos ⁡ t 2
  2. São perpendiculares porque o produto escalar entre eles é 0 .
Ver Outros Exercícios desse livro

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O vetor velocidade v(t).
A velocidade escalar em t=t 1 .
A velocidade escalar em t = t1.
dois vetores tangentes unitários à trajetória de partícula em t=t 1 . Trace um esboço da trajetória da partícula e represente geometricamente os vetores V t 1 e A t 1 .
dois vetores tangentes unitários à trajetória de partícula em t = t1. Trace um esboço da trajetória da partícula e represente geometricamente os vetores V(t1) e A(t1).