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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 6

Uma partícula move-se segundo a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , onde t é medido em segundos e s , em pés.

(a) Encontre a velocidade no instante t .

(b) Qual a velocidade depois de 3 s?

(c) Quando a partícula está em repouso?

(d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?

(e) Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.

(f) Desenhe um diagrama como na Figura 2 para ilustrar o movimento da partícula.

s = t ( 3 t 2 - 35 t + 90 )

Passo 1

Oieee, bora resolver essa comigo?

Vamos resolver cada etapa:

(a) Encontre a velocidade no instante t :

Para encontrar a velocidade, derivamos s ( t ) em relação a t usando a regra da cadeia:

v t = d s d t = d d t t 3 t 2 - 35 t + 90

Para isso, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Derivando cada parte separadamente:

v t = 1 2 t 3 t 2 - 35 t + 90 + t 6 t - 35

v t = 3 t 2 - 35 t + 90 2 t + 6 t t - 35 t

Passo 2

(b) Qual a velocidade depois de 3 segundos?

Substituímos t = 3 na expressão que obtivemos em (a):

v t = 3 t 2 - 35 t + 90 2 t + 6 t t - 35 t

v 3 = 3 ( 3 ) 2 - 35 ( 3 ) + 90 2 3 + 6 t 3 - 35 3

v 3 = 27 - 105 + 90 2 3 + 18 3 - 35 3

v 3 = 12 2 3 - 17 3

v 3 = 6 3 - 17 3

v 3 = - 15 3   p é s

Passo 3

Para saber quando a partícula está em repouso, é quando v ( t ) = 0 , certo?

Portanto,

t - 1 = 0   ∴ t = 1 s

Ou

t - 6 = 0   ∴ t = 6 s

Essa é bem simples!

Passo 4

Para saber quando a partícula está se movendo no sentido positivo, é quando v t > 0 , certo? Portanto, se t - 1 e t - 6 , os valores de t devem estar entre

0 < t < 1

Ou

t > 6

Passo 5

A distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos é dada pela diferença entre os valores até chegar em 8 , vamos lá:

f 1 - f 0 = 1 ( 3 1 2 - 35 ( 1 ) + 90 ) - 0

f 1 - f 0 = 58 - 0 = 58

f 8 - f 6 = 8 ( 3 8 2 - 35 ( 8 ) + 90 ) - 6 ( 3 6 2 - 35 ( 6 ) + 90 )

f 8 - f 6 = 4 2 - - 12 6

= 32

f 6 - f 1 = 6 ( 3 6 2 - 35 ( 6 ) + 90 ) - 1 ( 3 1 2 - 35 ( 1 ) + 90 )

f 6 - f 1 = - 12 6 - 58

≈ 87,39   f t

Somando esses valores temos que a distância total é 180,44   f t .

Passo 6

O diagrama que representa esse movimento da partícula é:

Agora queremos saber quando a partícula está se movendo no sentido positivo. Pra isso devemos ter v t > 0 :

3 t 2 - 35 t + 90 2 t + 6 t t - 35 t > 0

A nossa função é uma parábola com concavidade pra cima, isso significa que, se tem valores positivos e negativos de y ela deve começar positiva, ficar negativa e depois positiva de novo.

Como temos os valores das raízes podemos esboçar rapidamente o gráfico:

Agora a gente tem que fazer um diagrama para ilustrar o movimento da partícula. Sabemos pela letra anterior que a partícula anda 58   m pra direita nos primeiros 1   segundos. Depois anda 29,4   m pra esquerda nos próximos 5 segundos e finalmente nos últimos 3 segundos ela anda 5,6 metros pra direita.

Prontinho!!

Resposta

(a)   v t = 15 2 t ( t - 1 ) ( t - 6 ) ;

(b)   v = - 15 3 f t s ;

(c) t = 1 s ou t = 6 s ;

(d) 0 < t < 1 Ou t > 6 ;

(e) a distância total é 180,44   f t ;

(f) diagrama.

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