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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 12

Uma partícula move-se com uma velocidade de v t   m / s ao longo de um eixo s . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de tempo.

  1. v t = t - t ,     0 ≤ t ≤ 4
  2. v t = 1 t + 1 ,     0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Fala aí, como vai?

Nessa aqui a gente quer o deslocamento e a distância percorrida pela partícula. É o seguinte: pra calcular deslocamento, a gente faz:

∫ t 0 t 1 v t d t = s t 1 - s t 0

E pra distância, é o seguinte:

∫ t 0 t 1 v t   d t

Show! Bora trazer isso pros nossos casos agora...

Passo 2

  1. Deslocamento:

    2. ∫ 0 4 t - t   d t = t 2 - 2 3 t 3 2 0 4 = 4 - 2 3 4 3 2 = 4 - 16 3 = 4 3

    Achamos que o deslocamento então é 4 3 m .

    Bora pra distância agora:

    d i s t â n c i a = ∫ 0 4 t - t d t

    Analisando o sinal da função:

    t - t ≥ 0

    t ≥ t

    Isso ocorre quando t ≥ 1 . Então a gente vai fazer...

    Passo 3

    A nossa integral vai ficar:

    ∫ 0 1 t - t   d t + ∫ 1 4 t - t   d t

    2 3 t 3 2 - t 2 2 0 1 + t 2 2 - 2 3 t 3 2 1 4

    = 2 3 - 1 2 + 8 - 2 3 8 + 2 3

    = 4

    A distância então é de 4   m .

    Passo 4

  2. Bora fazer a mesma coisa:

d e s l o c a m e n t o = ∫ 0 3 1 t + 1   d t = 2 t + 1 0 3 = 2 4 - 2 1 = 4 - 2 = 2

O deslocamento então foi 2   m .

Passo 3

E agora vamos fazer a distância:

∫ 0 3 1 t + 1   d t

Vamos analisar o sinal da função:

1 t + 1 ≥ 0

t + 1 ≥ 0

Isso acontece pra todos os valores de t , porque a raiz tem que ser positiva mesmo né?

Então é só a gente montar a integral normalmente, igual a ali de cima:

∫ 0 3 1 t + 1   d t = 2

E acabamos por aqui😉

Resposta

  1. Deslocamento: 4 3 m e distância: 4   m
  2. Deslocamento: 2   m e distância: 2   m
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