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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 54

Um peso de 1   k g é atado a uma mola de constante elástica k = 4,5   N / m . Começando em t = 0 , uma força igual a f t = 4 . s e n 3 t + 2 . c o s ⁡ ( 3 t ) age sobre o sistema. Supondo que não haja força de amortecimento presente, use a transformada de Laplace para encontrar a equação de movimento se o peso é solto a partir do repouso na posição de equilíbrio.

Passo 1

E aííí parsa!!

Bora lá, temos que resolver essa equação:

m x ' ' = - k x + f ( t )

Para   m = 1 2 , k = 4,5 e f t = 4 . s e n 3 t + 2 . c o s ⁡ ( 3 t )  

Para isso, vamos usar a transformada de Laplace, beleza?

Antes vamos lembrar algumas transformadas que podem ser úteis:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Agora sim, bora lá

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

1 2 x ' ' + 4,5 x = 4 . s e n 3 t + 2 . c o s ⁡ ( 3 t )

1 2 s 2 . X s - s . x 0 - x ' ( 0 ) + 4,5 X s = 4 . 3 s 2 + 9 + 2 . s s 2 + 9

Nesse caso, temos x 0 = 0 e x ' 0 = 0

1 2 s 2 . X s + 4,5 X s = 4 . 3 s 2 + 9 + 2 . s s 2 + 9

X s . s 2 2 + 4,5 = 4 . 3 s 2 + 9 + 2 . s s 2 + 9

Multiplicando o termo da esquerda por 2:

X s . s ² + 9 = 4 . 3 s 2 + 9 + 2 . s s 2 + 9

X s = 12 ( s 2 + 9 ) s ² + 9 + 2 s ( s 2 + 9 ) s 2 + 9

Agora precisamos achar a transformada inversa disso, belezinha?

Passo 3

Temos

X s = 12 1 ( s 2 + 9 ) ² + 2 s ( s 2 + 9 ) ²

Podemos manipular assim:

X s = 12 54 54 ( s 2 + 9 ) ² + 2 6 6 s ( s 2 + 9 ) ²

Então, fazendo a transformada inversa, usando a propriedade da derivação, temos

x t = 1 3 t . s e n 3 t + 2 9 s e n 3 t - 3 t . cos ⁡ 3 t

E acabaamoooooos

Resposta

x t = 1 3 t . s e n 3 t + 2 9 s e n 3 t - 3 t . cos ⁡ 3 t

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