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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 44

Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuito em série R-C quando q 0 = 0 , R = 50   o h m s , C = 0 , 0 1   f a r a d e E ( t ) é a voltagem dada na figura 7.45

Passo 1

E aíí meu povo!!

Aqui temos que resolver essa equação:

R d q d t + 1 C q = E ( t )

Encontrando q ( t ) para E t = E 0 u t - 1 - u t - 3 e q 0 = 0

Para fazer isso, vamos usar transformadas de Laplace beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

50 d q d t + 1 0,0 1 q = E 0 u t - 1 - u t - 3

50 d q d t + 100 q = E 0 u t - 1 - u t - 3

50 s . Q s - 0 + 100 Q s = E 0 1 s e - s - 1 s e - 3 s

Q s . 50 s + 100 = E 0 1 s e - s - 1 s e - 3 s

Q s . 50 ( s + 2 ) = E 0 1 s e - s - 1 s e - 3 s

Isolando Q ( s ) :

Q s = E 0 50 1 s ( s + 2 ) e - s - 1 s ( s + 2 ) e - 3 s

Fazendo a transformada inversa, temos

q t = E 0 100 1 - e - 2 t - 1 u t - 1 - 1 - e - 2 t - 3 u t - 3

E fimmmm

Resposta

q t = E 0 100 1 - e - 2 t - 1 u t - 1 - 1 - e - 2 t - 3 u t - 3

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