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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 40

Resolva o problema 39 quando E (t) = 100 [ t - (t - 1) u (t - 1) ]

Passo 1

E aíí meu povo!!

Nesse exercício, vamos usar a equação (3):

L (d i)/(d t) + R i + (1)/(C) int_0^t i (tau) d tau = E ( t )

Com L = 0,005 h e n r y , R = 1 o h m , C = 0,02 f a r a d , E (t) = 100 [ t - (t - 1) u (t - 1) ] v o l t s e i (0) = 0

E a partir disso, vamos resolver a equação integro diferencial que vamos ter usando transformada de Laplace, beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L {y (t)} = Y ( s )

L {y ' (t)} = s . Y (s) - y ( 0 )

L {y ' ' (t)} = s^2 . Y (s) - s . y (0) - y ' ( 0 )

L {1} = (1)/(s)

L {t^n} = (n !)/(s^(n + 1))

L {e^(alpha t)} = (1)/(s - alpha)

L {c o s ( k t )} = (s)/(s^2 + k ²)

L {s e n ( k t )} = (k)/(s^2 + k ²)

E vamos lembrar também que a convolução int_0^t f (t - tau) g (t) d tau no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

0,005 (i^' (t)) + 1 . i ( t ) + (1)/(0,02) int_0^t i (tau) d tau = E (t) = 100 [ t - (t - 1) u (t - 1) ]

Em int_0^t i (tau) d tau temos a convolução de i ( t ) com 1 então podemos escrever como a multiplicação das suas transformadas

(s . I (s) - i (0)) + 200 I ( s ) + 10000 . I (s) . (1)/(s) = 20000 [(1)/(s ²) - (1)/(s ²) e^(- s)]

Sabemos que i (0) = 0 :

I (s) . (s + 200 + (10000)/(s)) = 20000 [(1)/(s ²) - (1)/(s ²) e^(- s)]

Isolando I ( s ) :

I (s) = (20000)/((s + 200 + (10000)/(s))) [(1)/(s ²) - (1)/(s ²) e^(- s)]

I (s) = (20000)/(s (s + 100)^2) ( 1 - e^(- s) )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

I (s) = (20000)/(s (s + 100)^2) ( 1 - e^(- s) )

Expandindo em frações parciais, temos:

I (s) = ((2)/(s) - (2)/(s + 100) - (200)/((s + 100)^2)) ( 1 - e^(- s) )

Então:

i (t) = 2 - 2 e^(- 100 t) - 200 t . e^(- 100 t) - 2 u (t - 1) + 2 e^(- 100 (t - 1)) u (t - 1) + 200 (t - 1) e^(- 100 (t - 1)) u ( t - 1 )

E fimmm

Resposta

i (t) = 2 - 2 e^(- 100 t) - 200 t . e^(- 100 t) - 2 u (t - 1) + 2 e^(- 100 (t - 1)) u (t - 1) + 200 (t - 1) e^(- 100 (t - 1)) u ( t - 1 )

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