Resolva o problema 39 quando E(t) = 100[t - (t - 1)u(t - 1)]

Passo 1

E aíí meu povo!!

Nesse exercício, vamos usar a equação (3):

L d i d t + R i + 1 C ∫ 0 t i τ d τ = E ( t )

Com L = 0,005   h e n r y , R = 1   o h m , C = 0,02   f a r a d , E t = 100 [ t - t - 1 u t - 1 ]   v o l t s e i 0 = 0

E a partir disso, vamos resolver a equação integro diferencial que vamos ter usando transformada de Laplace, beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

0,005 i ' t + 1 . i ( t ) + 1 0,02 ∫ 0 t i τ d τ = E t = 100 [ t - t - 1 u t - 1 ]

Em ∫ 0 t i τ d τ temos a convolução de i ( t ) com 1 então podemos escrever como a multiplicação das suas transformadas

s . I s - i 0 + 200 I ( s ) + 10000 . I s . 1 s = 20000 1 s ² - 1 s ² e - s

Sabemos que i 0 = 0 :

I s . s + 200 + 10000 s = 20000 1 s ² - 1 s ² e - s

Isolando I ( s ) :

I s = 20000 s + 200 + 10000 s 1 s ² - 1 s ² e - s

I s = 20000 s s + 100 2 ( 1 - e - s )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

I s = 20000 s s + 100 2 ( 1 - e - s )

Expandindo em frações parciais, temos:

I s = 2 s - 2 s + 100 - 200 s + 100 2 ( 1 - e - s )

Então:

i t = 2 - 2 e - 100 t - 200 t . e - 100 t - 2 u t - 1 + 2 e - 100 t - 1 u t - 1 + 200 t - 1 e - 100 t - 1 u ( t - 1 )

E fimmm

Resposta

i t = 2 - 2 e - 100 t - 200 t . e - 100 t - 2 u t - 1 + 2 e - 100 t - 1 u t - 1 + 200 t - 1 e - 100 t - 1 u ( t - 1 )

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