Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.4 - Ex. 35
Uma piscina circular tem diâmetro de metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de metro na extremidade sul para dois metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.
Passo 1
Beleza, galera? A gente precisa tentar entender como é o formato dessa piscina, pra podermos escrever uma integral dupla que represente o volume dela, certo?
O exercício nos disse que a piscina é circular com metros de diâmetro, ou seja, com metros de raio. Então, se escrevermos a integral em coordenadas polares, já saberemos que a região de integração será .
Agora só nos resta descobrir qual será a função a ser integrada, e pra isso vamos analisar a profundidade da piscina. Se ela é constante ao longo das retas de leste para oeste, podemos ter a intuição de que a função-profundidade não depende de , considerando a direção do eixo como a direção oeste-leste. Agora, considerando a direção do eixo como a direção sul-norte, vemos que a função vai ser linearmente dependente de :
Passo 2
Pra descobrir os valores de e , vamos substituir os pontos que temos: metro na extremidade sul () e metros na extremidade norte ():
Então,
E a integral dupla que representará o volume da piscina será:
Passo 3
Show! Agora lembre-se de que, pra calcular a integral dupla, sempre começamos de dentro pra fora: