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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 26

Os polinômios de Legendre têm um papel importante em física matemática. Por exemplo, ao

resolver a equação de Laplace (equação do potencial) em coordenadas esféricas, encontramos

a equação

d 2 F φ d φ 2 + cot ⁡ φ d F φ d φ + n n + 1 F φ = 0 ,         0 < φ < π

em que n é um inteiro positivo. Mostre que a mudança de variável x   =   c o s   ϕ leva a uma

equação de Legendre com α   =   n para y   =   f   ( x )   =   F ( a r c c o s   x ) .

Passo 1

Vamos lá caro amiguinho e amiguinha, para resolver está questão utilizaremos os conceitos da regra da cadeia, d z d x = d z d y ∙ d y d x , e a regra do produto, d d x u ∙ v = d u d x ∙ v + u ∙ d v d x .

Executaremos a troca de variável da equação para troca, x = cos ⁡ φ , e para isso teremos uma equação de f x = F φ . Vamos lá ?

Passo 2

Temos que:

d F φ d φ = d f x d φ = d f d x ∙ d d φ cos ⁡ φ = - d f d x ∙ s e n   φ

Seguindo para nossa equação temos:

d 2 F φ d φ 2 = d d φ - d f d x ∙ s e n   φ = d d φ - - d f d x   s e n   φ - d f d x ∙ d d φ s e n   φ

d 2 F φ d φ 2 = - d 2 f d x 2 ∙ d x d φ ∙ s e n   φ - d f d x ∙ φ = s e n 2 d 2 f d x 2 - cos ⁡ φ ∙ d f d x

Passo 3

Agora substituindo o calcula da expressão, y = f x e n = α na equação acima.

s e n 2 φ ∙ d 2 f d x 2 - cos ⁡ φ ∙ d f d x - cos ⁡ φ s e n φ ∙ d f d x ∙ s e n   φ + α α + 1 f x = 0

⇔   ( 1 - cos 2 φ ⁡ )     ∙ d 2 f d x 2 - 2 cos ⁡ φ ∙ d f d x + α α + 1 f x = 0

⇔   1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α α + 1 f x = 0

Temos que a nossa linha de equação bate exatamente com a equação de Legendre.

Resposta

1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α α + 1 f x = 0

Temos que a nossa linha de equação bate exatamente com a equação de Legendre.

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