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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 27

Mostre que, para n = 0, 1, 2, 3, o polinômio de Legendre correspondente é dado por.

P n x = 1 2 n n ! ∙ d n d x n x 2 - 1 n    

Essa fórmula, conhecida como fórmula de Rodrigues, é válida para todos os inteiros positivos

n.

Passo 1

Para executarmos esta questão, iremos fazer o calculo para todos os n e vamos comparar os resultados do polinômios obtidos e compararemos também a aos polinômios da questão 24(a).

Passo 2

Para n = 0 ,   temos:

P 0 x = 1 1 ∙ ∑ k = 0 0 - 1 k ∙ 0 - 2 k ! k ! 0 - k ! 0 - 2 k ! x 0 - 2 k = 1  

Para n = 1 ,   temos:

P 1 x = 1 2 ∙ ∑ k = 0 0 - 1 k ∙ 2 - 2 k ! k ! 1 - k ! 1 - 2 k ! x 1 - 2 k = 1 2 ∙ 2 1 x = x  

Para n = 2 ,   temos:

P 2 x = 1 4 ∙ ∑ k = 0 1 - 1 k ∙ 4 - 2 k ! k ! 2 - k ! 2 - 2 k ! x 2 - 2 k = 1 4 ∙ 4 ! 2 ! 2 ! x 2 - 2 ! 1 = 1 4 6 x 2 - 2  

P 2 x = 3 2 x 2 - 1 2

Para n = 3 ,   temos:

P 3 x = 1 8 ∙ ∑ k = 0 1 - 1 k ∙ 6 - 2 k ! k ! 3 - k ! 3 - 2 k ! x 3 - 2 k = 1 8 6 ! 3 ! 3 ! x 3 - 4 ! 2 ! x  

P 3 x = 5 x x 3 - 3 2 x

Passo 3

Bem nota que a questão 24(a), recomendo fortemente que você da uma passada nela lá, pede para efetuarmos os cálculos para o polinômio de Legendre com α   =   n que satisfaz, também, a condição P n ( 1 )   =   1 .

Coletando os resultados da questão 24, note que ao calcularmos a questão 24 estamos calculando a questão 27 também, pois satisfaz ou mostra que se os polinômios da questão 27 forem iguais da questão 24 a equação que temos na questão 27 está correta e nosso caso.

Desde n = 0,1 , 2,3 os polinômios são iguais a questão 24.

P 0 x = 1

Para α = 1 , temos:

P 1 x = x

Para α = 2 , temos:

P 2 x = - 1 2 + 3 2 x 2

Para α = 3 , temos:

P 3 x = - 3 2 x + 5 2 x 3

Oque é equivalente aos que acabamos de calcular.

Resposta

A equação satisfaz o polinômio de Legendre.

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