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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 24a

O polinômio de Legendre P n ( x ) é definido como a solução polinomial da equação de Legendre

com α   =   n que satisfaz, também, a condição P n ( 1 )   =   1 .

a) Usando os resultados do Problema 23, encontre os polinômios de Legendre P 0 ( x ) ,   . . . ,   P 5 ( x ) .

b) Faça os gráficos de P 0 ( x ) ,   . . . ,   P 5 ( x ) para – 1   ≤   x   ≤   1 .

c) Encontre os zeros de P 0 ( x ) ,   . . . ,   P 5 ( x ) .

Passo 1

a) Utilizando os cálculos efetuados na questão 23, vamos aplicar Legendre para P 0 x   a   P 5 x .

Para α = 0 , temos:

y 1 x = 1

E

y 1 1 = 1

Para α = 1 , temos:

y 2 x = x

E

y 2 1 = 1

Para α = 2 , temos:

y 1 x = 1 - 3 x 2

E

y 1 1 = 1 - 3 = 2

Para α = 3 , temos:

y 2 x = x - 5 3 x 3

E

y 2 1 = 1 - 5 3 = - 2 3

Para α = 4 , temos:

y 1 x = 1 - 10 x 2 + 35 3 x 4

E

y 1 1 = 1 - 10 + 35 3 = 8 3

Para α = 5 , temos:

y 2 x = x - 14 3 x 3 + 21 5 x 5

E

y 2 1 = 1 - 14 3 + 21 5 = 8 15

Passo 2

Para determinarmos o Polinômio de Legendre, nós teremos que dividir o polinômio correspondente por α e também pelo valor de x = 1 , teremos o seguinte:

Para α = 0 :

P 0 x = y 1 x y 1 1 = 1

Para α = 1 :

P 1 x = y 2 x y 2 1 = x

Para α = 2 :

P 2 x = y 1 x y 1 1 = - 1 2 1 - 3 x 2 = - 1 2 + 3 2 x 2

Para α = 3 :

P 3 x = y 2 x y 2 1 = - 3 2 x - 5 3 x 3 = - 3 2 x + 5 2 x 3

Para α = 4 :

P 4 x = y 1 x y 1 1 = 3 8 1 - 10 x 2 + 35 3 x 4 = 3 8 - 15 4 x 2 + 35 8 x 4

Para α = 5 :

P 5 x = y 2 x y 2 1 = 15 8 x - 14 3 x 3 + 21 5 x 5 = 15 8 x - 35 4 x 3 + 63 8 x 5

Resposta

a)

Para α = 0 , temos:

P 0 x = 1

Para α = 1 , temos:

P 1 x = x

Para α = 2 , temos:

P 2 x = - 1 2 + 3 2 x 2

Para α = 3 , temos:

P 3 x = - 3 2 x + 5 2 x 3

Para α = 4 , temos:

P 4 x = 3 8 - 15 4 x 2 + 35 8 x 4

Para α = 5 , temos:

P 5 x = 15 8 x - 35 4 x 3 + 63 8 x 5

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Nos problemas 35 e 36, note que x 0 = 0 é uma singularidade irregular de cada equação. Em cada caso verifique se o método de Frobenius forneceu uma solução x 3 y ' ' + y = 0
(a) Mostre que a equação diferencial x 2 y ' ' - 4 y = 0 tem uma singularidade no infinito. [Sugestão: Veja página 328.](b) Classifique o ponto singular no infinito como regular ou irregular.
Nos problemas 35 e 36, note que x 0 = 0 é uma singularidade irregular de cada equação. Em cada caso verifique se o método de Frobenius forneceu uma solução x 2 y ' ' - y ' + y = 0
Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 =
Especifique os pontos singulares de x 4 - 16 y ' ' + 2 y = 0