Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 35
Se o ponteiro dos minutos mede , qual a taxa de área sendo varrida por ele?
Passo 1
E aí, galerinha!
Nesse problema temos um relógio cujo ponteiro tem comprimento e nosso objetivo é calcular a taxa de crescimento da área que esse ponteiro varre com o tempo.
Tem ideia de como fazemos isso?
Aqui temos um problema de taxa relacionada e podemos perceber que vamos ter que relacionar duas coisas, a área da circunferência e a variação de ângulo que o ponteiro faz.
Bom, o ponteiro vai fazer um circulo no relógio... sabemos que a área de uma seção circular do circulo é dado por
No nosso caso, e variam com o tempo e é uma constante, então só o que temos que fazer é derivar essa equação em função do tempo para encontrar a taxa de crescimento da área que estamos interessados.
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Derivando a equação, vamos obter
é o valor que queremos encontrar, já não foi dado explicitamente, mas é dito que o ponteiro marca os minutos.
Dessa forma, podemos considerar um movimento linear em que em , o ponteiro percorre , concorda?
Logo, podemos calcular como
Substituindo em , temos que
É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!