Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 39
39. Em que ponto da curva a reta tangente é paralela ao eixo ?
Passo 1
A reta tangente à cuva será paralela ao eixo x , quando o coeficiente angular da reta tangente à curva for igual ao coeficiente angular da reta que representa o eixo x.
Sendo assim, devemos determinar qual é o coeficiente angular da reta tangente à curva dada e depois descobrir o ponto em questão.
Para isso, devemos saber que a equação da reta tangente tem a seguinte forma : y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e pode ser obtido a partir da derivada da função dada no enunciado e b é o coeficiente linear e pode ser obtido após encontrar a, substituindo os valores do ponto dado no enunciado.
Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.
Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens
- Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
- Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
- Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.
Passo 2
Como dito anteriormente, o coeficiente angular ( a ) é obtido a partir da derivada da função dada no problema, sendo assim:
Passo 3
Para descobrirmos o ponto em que ela será paralela ao eixo y, basta igualar o valor de a encontrado com o coeficiente angular da reta que representa o eixo x (y = 0). Assim, temos:
Sendo assim, a reta tangente à curva será paralela ao eixo x em todos os pontos que apresentam a seguinte forma, para todo x.