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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 81

É possível calcular a integral de uma função contínua f ( x , y ) sobre uma região retangular no plano x y e obter respostas diferentes dependendo da ordem de integração? Justifique sua resposta.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício iremos verificar se uma integral dupla pode apresentar resultados diferentes caso os limites de integração sejam invertidos.

Passo 2

Vamos considerar que f ( x , y ) é continua em uma região R E agora considere que a região R é definida pelos intervalos:

a ≤ x ≤ b

e:

g 1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x )

de tal forma que g 1 ( x ) e g 2 ( x ) são funções contínuas no intervalo a ≤ x ≤ b .

Passo 3

Segundo o teorema de Fubini, teremos que:

∬ R   f ( x , y ) d A = ∫ a b   ∫ g 1 ( x ) z 2 ( x )   f ( x , y ) d y d x

Passo 4

Por outro lado, se R for definido pelos intervalos:

c ≤ y ≤ d

e:

h 1 ( y ) ≤ y ≤ h 2 ( y )

Note que h 1 ( y ) e g h 2 ( y ) são funções contínuas no intervalo c ≤ y ≤ d .

Teremos:

∬ R   f ( x , y ) d A = ∫ c d   ∫ h 3 ( y ) h 2 ( y )   f ( x , y ) d x d y

Agora perceba que:

∫ a b   ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x )   f ( x , y ) d y d x = ∫ c d   ∫ h 1 ( y ) h 2 ( y )   f ( x , y ) d x d y

Resposta

Portanto, a inversão dos limites de integração não é capaz de alterar o resultado da integral.

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