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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 13

Mínimo volume cortado do primeiro octante Encontre o mínimo volume para uma região limitada pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e um plano tangente ao elipsoide

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

em um ponto no primeiro octante.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos encontrar o volume mínimo para a região x = 0 , y = 0 , z = 0 e o plano negativo tangente ao elipsóide

f ( x , y , z ) = x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 - 1

Com a condição de que o ponto esteja no primeiro octante.Acompanhe com atenção!

Passo 2

Seja f ( x , y , z ) = x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 - 1 .O gradiente então será:

∇ f = 2 x a 2 i = 2 y b 2 j + 2 z c 2 k

Uma equação do plano tangente em P 0 x 0 , y 0 , y 0 é:

2 x 0 a 2 x + 2 y 0 b 2 y + 2 z 0 c 2 z = 2 x 2 a 2 + 2 y 2 b 2 + 2 z 2 c 2 = 2

Ou:

x 0 a 2 x + y 0 b 2 y + z 0 c 2 z = 1

Já os interceptos do plano são:

a 2 x 0 , 0,0 , 0 , b 2 y 0 , 0  e  0,0 , c 2 z 0

O volume do tetraedro formado pelo plano e o plano de coordenadas é:

V = 1 3 1 2 a 2 x 0 b 2 y 0 c 2 z 0

Precisamos então maximizar o volume:

V ( x , y , z ) = ( a b c ) 2 6 ( x y z ) - 1

Sujeito à restrição:

f ( x , y , z ) = x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .

Passo 3

Assim, aplicando Lagrange e separando as componentes temos:

- ( a b c ) 2 6 1 x 2 y z = 2 x a 2 λ - ( a b c ) 2 6 1 x y 2 z = 2 y b 2 λ - ( a b c ) 2 6 1 x y z 2 = 2 z c 2 λ

Multiplicando as equações respectivamente por a 2 y z , b 2 x z e c 2 x y teremos:

a 2 y 2 = b 2 x 2

Logo:

y = b a x , x > 0

A primeira e terceira equação geram:

a 2 z 2 = c 2 x 2 z = c a x , x > 0

Usando os valores z e y encontrados em f ( x , y , z ) = 0 encontraremos:

x = a 3

Levando a y = b 3 , z = c 3 .Portanto o volume é: V = 3 2 a b c

Resposta

Resposta nos passos.

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