Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 8
Considere a curva . Traçar uma tangente à curva tal que a área do triângulo que ela forma com os eixos coordenados seja mínima.
Passo 1
Derivando a equação, achamos a inclinação da reta em função do ponto a partir do qual a tangente é traçada:
Vamos dizer que a reta tangente é dada pela seguinte equação:
Passo 2
Já sabemos , agora vamos obter substituindo o ponto , pois ele faz parte da curva :
Assim, a reta tangente à curva no ponto terá a seguinte equação:
Passo 3
Como o triângulo é formado com os eixos coordenados, ele será retângulo com catetos medindo e , considerando que a reta toca os eixos coordenados em e :
Desse modo, podemos escrever a área do triângulo como uma função apenas de :
Passo 4
Agora, para achar qual ponto nos dá a área mínima, vamos encontrar o ponto de mínimo global da função , beleza? Então, derivamos e igualamos a :
Multiplicamos toda a equação por :
Resolvemos a equação do grau na variável , desprezando a raiz negativa:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função em :
Note que e , onde e são os extremos do domínio da função . Assim, é o ponto que resulta no maior valor da área
Logo, a reta traçada deve ser tangente à curva no ponto de abscissa .
Resposta
Tangente no ponto de abscissa