Em cada um dos problemas de 1 a 10:

(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série (x > 0) correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente à menor raiz.

2)

x^2 * y'' + x * y' + (x^2 - 1/9) * y = 0

Passo 1

d) desde que r 1 - r 2 = 2 3 < 1 , nos iremos considerar a segunda raiz r 2 = - 1 3 . A correspondente solução em serie pode ser escrita:

a n = a n - 2 n - 1 3 2 - 1 9 = - a n - 2 n n - 2 3

Passo 2

Utilizando o mesmo modelo de raciocínio da letra (c), temos que a resposta é :

y = y 2 = x - 1 3 ∑ n = 0 ∞ a n x n =

= x - 1 / 3 1 - x 2 2 2 1 - 1 3 + x 4 2 4 ∙ 2 ∙ 1 - 1 3 2 - 1 3 - x 6 2 6 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 1 - 1 3 2 - 1 3 + 3 - 1 3 + … + - 1 m ∙ x 2 m 2 2 m m ! 1 - 1 3 2 - 1 3 … m - 1 3 + …

Resposta

y = y 2 = x - 1 3 ∑ n = 0 ∞ a n x n =

= x - 1 / 3 1 - x 2 2 2 1 - 1 3 + x 4 2 4 ∙ 2 ∙ 1 - 1 3 2 - 1 3 - x 6 2 6 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 1 - 1 3 2 - 1 3 + 3 - 1 3 + … + - 1 m ∙ x 2 m 2 2 m m ! 1 - 1 3 2 - 1 3 … m - 1 3 + …

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