Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 24c
O polinômio de Legendre é definido como a solução polinomial da equação de Legendre
com que satisfaz, também, a condição .
a) Usando os resultados do Problema 23, encontre os polinômios de Legendre .
b) Faça os gráficos de para .
c) Encontre os zeros de .
Passo 1
c)Para determinarmos os zeros dos polinômios que encontramos teremos que resolver o polinômio. Em outras palavras vamos encontrar suas raízes.
Passo 2
Para não temos raízes pois ele é igual a zero.
Para , temos uma raiz que é igual a zero.
Para temos:
Para temos:
Umas raiz será igual , resolvendo a equação do segundo grau:
Para , temos:
Tendo , fica:
Voltando para função , temos:
Para , temos:
Temos uma raízes igual a zero e substituindo , teremos:
Voltando para :
Resposta
c)Para não temos raízes.
Para , uma raiz igual a zero.
Para ,
Para
Para ,
Para