A equação de Chebyshev é

Em que é uma constante; veja o Problema 10 da Seção 5.3

(a) Mostre que e são pontos singulares regulares, e encontre os expoentes de cada uma dessas singularidades.

(b) Encontre duas soluções em torno de .

Para acharmos os expoentes, usamos a forma geral da equação indicial:

E substituímos e de cada ponto, como os dois pontos têm os mesmos e a equação indicial vai ser igual para os dois:

As raízes serão:

b) Em torno de , vamos precisar fazer a substituição:

O que faz com que precisemos substituir também:

A equação de Chebyshev passa a ser:

Agora a singularidade está em , podemos supor uma solução em série de potências:

E as derivadas:

Ao substituirmos na equação, teremos:

Resolvendo os produtos de fora:

Podemos unir algumas séries tirando fator comum de alguns termos:

Agora precisamos ajustar o índice da segunda série, porque quando , temos um termo , o que significa que a série começa em, podemos colocar esse termo somando por fora, e deixamos tudo como potências do tipo para colocarmos em evidencia. Assim:

Como a gente sabe que a equação precisa ser satisfeita para todo , isso significa que cada termo tem que ser zero das potências, a única maneira é se o coeficiente ser zero, mas como , então, a gente só pode dizer que:

E as raízes serão:

Podemos escrever também a relação de recorrência pelo mesmo motivo, os coeficientes de todos os termos da série precisam ser zero, assim:

Isolando :

Podemos subtrair de todos os , para que o fique :

Com a relação, a gente pode substituir as raízes que encontramos. Começamos por :

Vamos multiplicar em cima e embaixo por para facilitar os cálculos:

Aplicando a recorrência para escrever tudo em termos de :

E para a raiz :

Escrevendo em relação a :

Substituindo a raiz e sua relação de recorrência para a primeira solução:

E agora a segunda:

Voltando para a variável , pela substituição que usamos antes: