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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 21

Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.

L - 1 s s 2 + 2 s - 3

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

A gente quer encontrar a transformada inversa disso aqui:

L - 1 s s 2 + 2 s - 3

Nessa aqui a gente vai ter que usar frações parciais para mudar a cada da nossa expressão aí. Vai ficar assim:

s s 2 + 2 s - 3 = s s - 1 ( s + 3 ) = A s - 1 + B s + 3  

Vamos descobrir esse A   e   B aí...

Passo 2

Vamos ter:

s = A s - 1 + B s + 3

s = A s - A + B s + 3 B

Daqui tiramos que:

A + B = 1

3 B - A = 0

A = 3 B

3 B + B = 1 → B = 1 4

A = 3 4

Nossa expressão então fica assim:

L - 1 s s 2 + 2 s - 3 = L - 1 3 4 ( s - 1 ) + 1 4 ( s + 3 )

Passo 3

Agora a gente separa em duas:

L - 1 3 4 s - 1 + L - 1 1 4 ( s + 3 )

Daí, utilizando as transformações do teorema 7.3, temos:

L - 1 3 4 s - 1 = 3 4 L - 1 1 s - 1 = 3 4 e t

L - 1 1 4 ( s + 3 ) = 1 4 e - 3 t

Agora, juntamos os dois:

L - 1 s s 2 + 2 s - 3 = 3 4 e t + 1 4 e - 3 t

Prontinho! 😉

Resposta

L - 1 s s 2 + 2 s - 3 = 3 4 e t + 1 4 e - 3 t

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