Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.

4. F(s) = (3s) / (s^2 - s - 6)

Passo 1

Primeiro vamos começar reescrevendo F ( s ) de maneira que o denominador como um produto de polinômios simples: F s = 3 s ( s - 3 ) ( s + 2 )

Agora usamos o método de frações parciais:

3 s ( s - 3 ) ( s + 2 ) = A s - 3 + B s + 2

Tirando MMC para que os denominadores do lado direito e esquerdo fqiuem iguais:

3 s ( s - 3 ) ( s + 2 ) = A s + 2 + B ( s - 3 ) ( s - 3 ) ( s + 2 )

Cortando os denominadores, sobra o seguinte:

3 s = A s + 2 + B ( s - 3 )

Passo 2

Agora vamos substituir s = - 2 para encontrarmos B :

3 ( - 2 ) = + B ( - 2 - 3 )

- 6 = - 5 B

B = 6 5

Substituindo s = 3 para achar A :

9 = A 3 + 2

A = 9 5

Passo 3

E então a gente coloca os valores dos coeficientes la no inicio:

F s = 3 s ( s - 3 ) ( s + 2 ) = 1 5 9 s - 3 + 6 s + 2

Sabemos que as transformadas inversas dos termos entre parêntesis são:

L - 1 1 s - 3 = e 3 t

L - 1 1 s + 2 = e - 2 t

Então a transformada inversa da função F ( s ) fica:

L - 1 F ( s ) = 1 5 9 e 3 t + 6 e - 2 t

Resposta

L - 1 F ( s ) = 1 5 9 e 3 t + 6 e - 2 t

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