Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 22

Os problemas de 17 a 22 tratam do efeito de uma sequência de impulsos aplicados em um oscilador não amortecido. Suponha que

y ″   +   y   =   f   ( t ) ,   y ( 0 )   =   0 ,   y '   ( 0 )   =   0 .

Para cada uma das escolhas para f ( t ) :

(a) Tente prever a natureza da solução sem resolver o problema.

(b) Teste sua previsão encontrando a solução e desenhando seu gráfico.

(c) Determine o que acontece após o final da sequência de impulsos.

22)

f t = ∑ k = 1 40 - 1 k + 1 δ t t - 1 1 k / 4

Passo 1

a) Baseado na solução do problema 16(b) desta mesma seção, podemos prever que a solução será da seguinte forma:

∑ k = 1 40 - 1 k + 1 e - 11 k 4 s s 2 + 1

Devido a linearidade da transformada inversa de Laplace.

Passo 2

b) Pela transformada de Laplace e aplicando na equação diferencial:

L y ' ' + y = L y ' ' + L y

= s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + Y s

= s 2 Y s + Y s

= s 2 + 1 Y s

Nós temos equação de Laplace do lado esquerdo e podemos coletar a transformada do lado direito pela seguinte equação:

L ∑ k = 1 40 - 1 k + 1 δ t t - 11 k / 4 = ∑ k = 1 40 - 1 k + 1 L δ t t - 11 k / 4  

= ∑ k = 1 40 - 1 k + 1 e - 11 k / 4 s

Bem igualando o resultado das duas equações que calculamos temos:

s 2 + 1 Y s = ∑ k = 1 40 - 1 k + 1 e - 11 k / 4 s

Ou

Y s = ∑ k = 1 40 - 1 k + 1 e - 11 k 4 s s 2 + 1  

Aplicando a transformada inversa de Laplace, olhando nos itens 5 e 13, da tabela 6.2.1, temos:

y = ∑ k = 1 40 - 1 k + 1 s e n   t - 11 k 4 u 11 k 4 t  

Passo 3

c)Utilizando nossas equações para plotar o gráfico temos:

Perceba que após uma sequencia de pulsos terminar, a solução fica qual a - 5 cos ⁡ 56 - t .

Resposta

a) y = ∑ k = 1 40 - 1 k + 1 s e n   t - 11 k 4 u 11 k 4 t  

b) y = ∑ k = 1 40 - 1 k + 1 s e n   t - 11 k 4 u 11 k 4 t

c) Perceba que após uma sequencia de pulsos terminar, a solução fica qual a - 5 cos ⁡ 56 - t .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

As transformações de Laplace de certas funções podem ser encontradas de modo conveniente pelas suas expansões em séries de Taylor.Use a série de Taylor para sen ⁡ t : sen ⁡ t = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n +
a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valorinicial y ″+2 y '+2 y=f( t ) ;y ( 0 )= 0 ,y '( 0 )=0 É y = ∫ 0 t e - t - τ f τ s e n t - τ d τ (b) Mostre que,
a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valorinicial y ″+2 y '+2 y=f( t ) ;y ( 0 )= 0 ,y '( 0 )=0 É y = ∫ 0 t e - t - τ f τ s e n t - τ d τ (b) Mostre que,
Proceda como no Problema 23 para o oscilador satisfazendo y ' ' + 0,1 y ' + y = ∑ k = 1 15 δ t - 2 k - 1 π ,y 0 = 0 , y ' 0 = 0 . Note que, exceto pelo termo de amortecimento, esse problema é igual ao