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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 28

As transformações de Laplace de certas funções podem ser encontradas de modo conveniente pelas suas expansões em séries de Taylor.

  1. Use a série de Taylor para sen ⁡ t :

    2. sen ⁡ t = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n + 1 2 n + 1 !

    E, supondo que a transformada de Laplace dessa série pode ser calculada termo a termo, verifique que:

    L sen ⁡ t = 1 s 2 + 1   ,   s > 1

  2. Seja:

    3. f t = sen ⁡ t t 1 ,               t = 0 , t ≠ 0

    Encontre a série de Taylor de f em torno de t = 0 . Supondo que a transformada de Laplace dessa função pode ser calculada termo a termo, verifique que:

    £ { f   ( t ) }   =   a r c t a n ( 1 / s ) ,             s   >   1

  3. A função de Bessel de primeira espécie de ordem zero, J 0 , tem a série de Taylor (veja a Seção 5.7)

J 0 t = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n 2 2 n n ! 2

Supondo que as transformações de Laplace a seguir podem ser calculadas termo a termo, verifique que:

£ { J 0 ( t ) }   =   ( s 2   +   1 ) – 1 / 2 ,             s   >   1

L J 0 t = s - 1 e - 1 / ( 4 s )   ,   s > 0

Passo 1

  1. Por causa da suposição e linearidade da transformação de Laplace. Nós temos

    2. L sen ⁡ t = L ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n + 1 2 n + 1 ! = ∑ n = 0 ∞ L - 1 n t 2 n + 1 2 n + 1 ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n L ( t 2 n + 1 ) 2 n + 1 !

    Usando a transformação elementar de Laplace para f   t =   t 2 n + 1 , obtemos:

    L sen ⁡ t = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . 2 n + 1 ! s 2 n + 1   2 n + 1 ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n   s 2 n + 1 = 1 s 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 s 2 n

    A série geométrica ∑ n = 0 ∞ x n converge para 1 1 - x para x < 1 , e:

    s > 1

    Então :

    s 2 ? 1

    1 s 2 < 1

    Então, nós temos:

    L sen ⁡ t = 1 s 2 . 1 1 + 1 s 2 = 1 s 2 + 1

    Passo 2

  2. Para t ≠ 0 , nós temos:

    3. L f t =   L sen ⁡ t t = L ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n 2 n + 1 ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n L ( t 2 n ) 2 n + 1 ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n L ( t - 2 n + 1 ) 2 n + 1 !

    Desse modo a expansão da série taylor para o a r c t a n   x   é:

    ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( t 2 n + 1 ) 2 n + 1 ,   p a r a   x < 1

    Percebemos que a transformada de Laplace é da mesma forma com x   =   1   /   s . Portanto:

    L f t = arctan ⁡ 1 s

    Passo 3

  3. Nós temos:

L J 0 t = L ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n 2 2 n n ! 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n L ( t 2 n ) 2 2 n n ! 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 n ! s 2 n + 1 ) 2 2 n n ! 2

Então:

L J 0 t = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x n 2 2 n n ! 2 ,   x < 1

A transformada laplace L   ( J 0   ( t ) ) é igual a 1   /   1 + x para x   =   s - 2 até o multiplicador s - 1 . Em outras palavras:

L f t = 1 s . 1 1 + 1 s 2 = 1 s 2 + 1

Além disso:

L J 0 t = L ∑ n = 0 ∞ - 1 n t n 2 2 n n ! 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n L ( t n ) 2 2 n n ! 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . n ! s n + 1   2 2 n n ! 2 = 1 s ∑ n = 0 ∞ - 4 s - n n !

Desde que a expansão da série deTaylor para e x seja:

∑ n = 0 ∞ x n n !

A transformada Laplace L é igual a e x para x   =   - 1   /   4 s até o multiplicador   s - 1   . Em outras palavras:

L f t = s - 1 e - 1 / 4 s

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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