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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 14

Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

2 x 2 y ' ' - x y ' + x 2 + 1 y = 0

Passo 1

Salveee, vamos lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

2 x 2 y ' ' - x y ' + x 2 + 1 y = 2 r 2 - 3 r + 1 c 0 x r + 2 r 2 + r c 1 x r + 1 + ∑ k = 2 ∞ 2 k + r - 1 k + r c k - k + r c k + c k - 2 + c k x k + r - 1 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

2 r - 1 . r - 1 = 0

2 r 2 + r c 1 = 0

k + r 2 k + 2 r - 3 + 1 c k + c k - 2 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 1 2 e r = 0

(de tal forma que c 1 = 0 )

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0 e r = 1 2

Usando r = 1 2 , temos

c k = - c k - 2 k 2 k - 1 ,   k = 2,3 …

E então:

c 2 = - 1 6 c 0

c 3 = 0

c 4 = 1 168 c 0

Enquanto para r = 1 temos:

c k = - c k - 2 k 2 k + 1 ,   k = 2,3 …

Então:

c 2 = - 1 10 c 0

c 3 = 0

c 4 = 1 360 c 0

Então, nossa solução geral é

y = C 1 . x 1 2 1 - 1 6 x 2 + 1 168 x 4 + … + C 2 . x 1 - 1 10 x 2 + 1 360 x 4 + …

Resposta

y = C 1 . x 1 2 1 - 1 6 x 2 + 1 168 x 4 + … + C 2 . x 1 - 1 10 x 2 + 1 360 x 4 + …

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