Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios de Revisão - Ex. 22
Nos problemas 17-22, encontre duas soluções linearmente independentes para cada equação.
22. x²y’’ – x²y’ + (x²-2) y = 0
Passo 1
Como sabemos, podemos realizar a substituição com . Substituindo na equação diferencial, teremos:
Essa equação nos implica que e
Passo 2
Após encontrarmos as equações, podemos encontrar as raízes r pela resolução da equação, chegando em r1=2 e r2=-1.
Para r2=-1, temos:
, então, temos:
Como c1=c2, então c3 é arbitrário e, logo,
Passo 3
Assim, podemos assumir c0=1 e c3=0. Com estes valores, teríamos:
, e assim adiante.
Já assumindo c0=0 e c3=1, temos:
, e assim adiante.
Passo 4
Assim, encontramos os valores de y1 e y2:
E, consequentemente, encontramos a segunda solução, que será:
Resposta
Assim, concluímos que e
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Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 =
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