Nos Problemas 19-22, deduz a relação de recorrência dada.

J_v'(x) = -v J_v(x) - x J_v-1(x)

Sugestão: 2n + v = 2(n + v) - v.

Passo 1

Opa, tudo joia?

Vamos nos basear no Exemplo 3 do livro pra deduzir essa fórmula.

Bom, pela definição de J v , montamos a expressão, com a ajuda da sugestão:

- v J v x - x J v - 1 x =   - ∑ n = 0 ∞ - 1 n v n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v + x ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! Γ v + n x 2 2 n + v - 1

= - ∑ n = 0 ∞ - 1 n v n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v + ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( v + n ) n ! Γ 1 + v + n ⋅ 2 x 2 x 2 2 n + v - 1

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + v n ! Γ 1 + v + n ⋅ x 2 2 n + v

O que é equivalente a:

= x   J v ' ( x )

E chegamos ao resultado pedido!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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