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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 19

Nos Problemas 19-22, deduz a relação de recorrência dada.

x J v ' x =   - v J v x - x J v - 1 ( x )

Sugestão: 2 n + v = 2 n + v - v .

Passo 1

Opa, tudo joia?

Vamos nos basear no Exemplo 3 do livro pra deduzir essa fórmula.

Bom, pela definição de J v , montamos a expressão, com a ajuda da sugestão:

- v J v x - x J v - 1 x =   - ∑ n = 0 ∞ - 1 n v n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v + x ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! Γ v + n x 2 2 n + v - 1

= - ∑ n = 0 ∞ - 1 n v n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v + ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( v + n ) n ! Γ 1 + v + n ⋅ 2 x 2 x 2 2 n + v - 1

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + v n ! Γ 1 + v + n ⋅ x 2 2 n + v

O que é equivalente a:

= x   J v ' ( x )

E chegamos ao resultado pedido!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos Problemas 28-33, use a relação de recorrência dada no Problema 21 e os resultados obtidos no Problema 27 e no Exemplo 4 para expressar a função de Besse pedida em termos de sen ⁡ x , cos ⁡ xe potê
Nos Problemas 28-33, use a relação de recorrência dada no Problema 21 e os resultados obtidos no Problema 27 e no Exemplo 4 para expressar a função de Besse pedida em termos de sen ⁡ x , cos ⁡ xe potê
Proceda como no Exemplo 4 e expresse J - 1 2( x ) em termos de cos ⁡ x e uma potência de x .
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Nos Problemas 23-26, use (14) ou (15) para obter os resultados pedidos. ∫ x 3 J 0 x d x = x 3 J 1 x + 2 x 2 J 0 x - 4 x J 1 x + c