Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 33

Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

2 x 2 d y d x = 3 x y + y 2 ;   y 1 = - 2

Passo 1

Opa, tudo beleza? Bora resolver essa equação!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. A gente pode fazer y = u x     o u     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

2 x 2 d y d x = 3 x y + y 2

2 x 2 d y = 3 x y + y 2 d x

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

2 x 2 d y = 3 x y + y 2 d x

2 x 2 u   d x + x   d u = 3 u x 2 + u 2 x 2 d x

2 x 2 u   d x + 2 x 3 d u = 3 u x 2 d x + u 2 x 2 d x

2 u   d x + 2 x   d u = 3 u d x + u 2 d x

u   d x + u 2 d x = 2 x   d u

d x u + u 2 = 2 x   d u

d x x = 2 u u + 1 d u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x = ∫ 2 u u + 1 d u

ln ⁡ | x | = 2 ln ⁡ u - 2 ln ⁡ u + 1 + C

x u + 1 2 u 2 = c 1

Como y = u x , temos u = y x :

x y + x 2 = c 1 y 2

Bom, chegamos a solução geral, mas a gente tem um problema de valor inicial, então temos que usar pra descobrir esse c 1 aí...

Passo 4

Bom, temos que y 1 = - 2 , então vamos substituir isso na equação:

x y + x 2 = c 1 y 2

1 - 2 + 1 2 = c 1 - 2 2

1 - 1 2 = 4 c 1

c 1 = 1 4

Então a solução da equação é:

x y + x 2 = 1 4 y 2

Prontinho! 😉

Resposta

x y + x 2 = 1 4 y 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso. x + y( 4 x + 3 y )
Nos problemas 1-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso. sen ⁡ x x + y
Nos problemas 1-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso. x y 2 + x 4 + y 4
Nos problemas 1-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso. x 3 + 2 x y 2 - y 4 x
Nos problemas 1-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso. cos ⁡ x 2 x + y