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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 32

  1. Verifique que y 1 = 1   e   y 2 = ln ⁡ x é uma solução para a equação diferencial não-linear y ' ' + y ' 2 = 0   no intervalo ( 0 ,   ∞ ) .
  2. y 1 + y 2 é solução para a equação? c 1 y 1 + c 2 y 2 ,   c 1   e   c 2   constantes arbitrárias, é uma solução para a equação?

Passo 1

Opa! Tudo belezinha?

  1. Olha só, para testar que y 1 = 1   e   y 2 = ln ⁡ x , temos que calcular y ' e   y ' ' nos dois casos e substituir na EDO:

    2. Primeiro, vamos ver y 1 :

    y 1 ' = 0  

    y 1 ' ' = 0

    Daí, substituindo isso na EDO, temos:

    y ' ' + y ' 2 = 0

    0 + 0 = 0

    E assim vemos que é sim, solução 😉

    Passo 2

  2. Agora vamos ver se y 1 + y 2 = 1 + ln ⁡ x = y 3 é solução:

y 3 ' = 1 x

y 3 ' ' = - 1 x 2

Substituindo na EDO:

y ' ' + y ' 2 = 0

- 1 x 2 + 1 x 2 = 0

0 = 0

Então é solução! 😉

Passo 2

Agora vamos ver se y 4 = c 1 y 2 + c 2 y 2 = c 1 + c 2 ln ⁡ x é solução:

y 4 ' = ln ⁡ x + c 2 x

y 4 ' ' = 1 x - c 2 x 2

Substituindo na EDO:

y ' ' + y ' 2 = 0

1 x - c 2 x 2 + ln ⁡ x + c 2 x 2 = 0

1 x - c 2 x 2 + ln 2 ⁡ x + 2 l n x c 2 x + c 2 2 x 2 = 0

E aí vemos que isso não vai zerar...

Então, não é solução 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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