Enunciado

Nos problemas 35 e 36, note que x 0 = 0 é uma singularidade irregular de cada equação. Em cada caso verifique se o método de Frobenius forneceu uma solução

x 2 y ' ' - y ' + y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x 2 y ' ' - y ' + y = r c 0 x r - 1 + ∑ k = 0 ∞ [ k + r - 1 k + r ] c k + ( k + r + 1 ) c k + 1 x k + r = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r c 0 x r - 1 = 0 → r = 0

Se r = 0 , temos:

c k + 1 = k k - 1 + 1 k + 1 c k ,   k = 0,1 , 2 …

c 1 = 0

c 2 = 1 2 c 0

c 3 = 1 2 c 0

E então nossa solução é y x = c 0 . 1 + x + 1 2 x 2 + 1 2 c 3 + …

Resposta

y x = c 0 . 1 + x + 1 2 x 2 + 1 2 c 3 + …

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Em cada um dos problemas de 1 a 4, determine ϕ ″ ( x 0 ) ,ϕ ‴ ( x 0 ) eϕ 4 ( x 0 ) para o ponto dado x 0 , se y=ϕ ( x 0 ) é uma solução do problema de valor inicial dado. y ' ' + x 2 y ' + sen ⁡ x y =
Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso. y ' - y = x 2
Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso. y ' - y = 0
Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso. y ' + x y = 1 + x
Em cada um dos problemas de 5 a 8, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto x 0 dado. 1 + x 3 y ' ' + 4 x y ' + y