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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 20

Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso.

y ' - y = x 2

Passo 1

O exercício pede para que escrevamos na forma de:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

A derivada pode ser dada por:

y ' = ∑ n = 0 ∞ n a n x n - 1

Aplicando na EDO, teremos :

y ' - y = x 2

∑ n = 0 ∞ n a n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n = x 2

Reorganizando na forma de índice os termos em x não ao poder de n :

∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) a n + 1 x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n - x 2 = 0

Expandindo a soma até os termos que contem x 2 :

a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + ∑ n = 0 ∞ n + 1 a n + 1 x n - a 0 - a 1 x - a 2 x 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x n - x 2 = 0

a 1 - a 0 + 2 a 2 - a 1 x + 3 a 3 - a 2 - 1 x 2 + n + 1 a n + 1 - a n ∑ n = 0 ∞ x n = 0

Por comparação:

a 1 - a 0 = 0 ;     a 1 = a 0

2 a 2 - a 1 = 0 ; 2 a 2 = a 0 ; a 2 = 1 2 a 0

3 a 3 - a 2 - 1 = 0 ; 3 a 3 = a 2 + 1 ; 3 a + 3 = 1 2 a 0 + 1 = 1 6 a 0 + 2

Então, vamos colocar:

n + 1 a n + 1 - a n = 0

n + 1 a n + 1 = a n

Isolando, teremos:

a n + 1 = a n n + 1

Reorganizando:

a 4 = a 3 4 = 1 24 a 0 + 2

a 5 = a 4 5 = 1 120 ( a 0 + 2 )

Passo 2

Podemos montar y como:

y = a 0 + a 0 x + 1 2 a 0 x 2 + 1 6 a 0 + 2 x 3 + 1 24 a 0 + 2 x 4 + 1 120 a 0 + 2 x 5 + …

Então:

y = a 0 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … + x n n ! + … + 2 1 6 x 3 + 1 24 x 4 + 1 120 x 5 + …

Escrevendo em termos:

y = a 0 e x + 2 1 6 x 3 + 1 24 x 4 + 1 120 x 5 + … + 1 + x + x 2 2 x ! - 1 + x + x 2 2 !

y = a 0 e x + 2 e x - 1 - x - x 2 2 !

y = a 0 e x + 2 e x - 2 - 2 x - x 2

y = c e x - 2 - 2 x - x 2

Quando c = a 0 + 2

Resposta

y = c e x - 2 - 2 x - x 2

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