Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 13

Nos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores.

13.

Passo 1

A forma que queremos chegar quando reescrevemos a equação diferencial é:

Observe que essa equação diferencia pode ser reescrita como

O que significa então que temos e

Alem disso podemos concluir ainda que é um autovalor correspondente a autofunção .

A solução então só vai existir se e forem ortogonais.

Precisamos que isso resulte em zero, logo existe uma solução desde que . Nesse caso a EDO é

Passo 2

A solução complementar será:

A solução particular será:

Usando o métdo dos coeficientes indeterminados, encontramos

Então, para solução geral teremos:

Passo 3

Aplicando as condições de contorno teremos que . Logo, a solução do problema de valor de contorno é:

Resposta

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A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s

A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s

30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,( i ) α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 , β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0 i i tem uma solução em termos de uma função de Green y =

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