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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.6 - Ex. 22

  1. Suponha que α 2 = 1 e que s(x) = k na Eq. (i), com k constante. Encontre υ(x).
  2. Suponha que T 1 = 0 ,   T 2 = 0 ,   L = 20 ,   k = 1 / 5 e que f(x) = 0 para 0

Passo 1

Letra a:

α ² = 1 ,   s ( x ) = k ,   v ( x ) = ?

u t = α ² u x x + s ( x )

u ( x , t ) = v ( x ) + w ( x , t )

u ( 0 , t ) = T 1 ⇒ v ( 0 ) = T 1

u ( L , t ) = T 2 ⇒ v ( L ) = T 2

Em estado estacionário temos:

α ² v ' ' ( x ) + s ( x ) = 0

Então:

v ' ' ( x ) + k = 0

v ' ' ( x ) =   - k

v ' ( x ) =   - k x + c 1

v ( x ) =   - k x ² 2 + c 1 x + c 2

Daí, achamos o c 1 e então achamos v ( x ) :

c 1 = T 2 - T 1 + k L 2 2 L

v ( x ) = T 1 + [ T 2 - T 1 L ] + k L 2 x - k 2 x ²

Resposta

  1. u ( L , t ) = T 2 ⇒ v ( L ) = T 2
  2. v ( x ) = T 1 + [ T 2 - T 1 L ] + k L 2 x - k 2 x ²
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