Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.8 - Ex. 15
Nos problemas de 15 a 18, indicamos como provar que a sequência , definida pelas equações de (4) a (7), converge.
Se for contínua no retângulo , mostre que existirá uma constante positiva tal que
,
em que e são dois pontos em com a mesma coordenada . Essa desigualdade é conhecida como uma condição de Lipschitz.
Sugestão: Mantenha fixo e use o teorema do valor médio em como função só de . Escolha como o valor máximo de em .
Passo 1
Nesse exercício iremos fazer algumas suposições sobre nossa função e aderir as sugestões do enunciado. Vamos supor um que está entre de forma em que a desigualdade continue verdadeira. Vamos juntos resolver.
Passo 2
Bom, vamos lá. Primeiramente vamos deixar nosso fixo. Assim podemos dizer, sem perda de generalidade, que . Se assumirmos que é diferenciavel em relação a , o teorema do valor médio nos garante que existirá um de forma que
Onde . Isso nos diz que, independente do valor de e
Desde que seja continua em , essa nossa mesma derivada nos dá um ponto de máximo sobre qualquer fronteira fechada de . Ou seja:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)