33 . Resolva o problema de valor inicialy′ + p(t)y = 0, y(0) = 1, em que

p(t) = 2 → 0 ≤ t ≤ 1

1 → t > 1

Passo 1

Ola! Estamos terminando essa seção, vamos unir tudo o que já trabalhamos ate aqui para resolver essa questão 😊 , percebe que podemos fazer separação de variáveis? Vai ser bem mais pratico dessa maneira resolver, então bora la!!!

y '   +   p ( t ) y   =   0

1 y d y =   - p   d t

Conseguimos agora deixar essa equação bem mais clara. E podemos ver o que podemos fazer agora para resolver

Passo 2

Vamos integrar agora em ambos os lados

∫ 1 y d y = ∫ - p   d t

ln ⁡ y   =   ∫ - p   d t + C

Como p é uma constante podemos passar ela para fora e integrar normalmente

y   = e - p t + C

P é uma função degrau também. Que obedece a seguinte regra

p t = 2 → 0 ≤ t ≤ 1

p t =   1 → t > 1

Então temos que separar o domínio de y em 2

y = e - 2 t + C →   0 ≤ t ≤ 1

y = e - t + C → t > 1

Passo 3

Vamos descobrir o valor de C , já que temos os valores de contorno

y ( 0 )   =   1

Dessa forma temos

y = e - 2 t + C

1 = e C

OU seja para que essa equação seja verdadeira

C = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = e - 2 t →   0 ≤ t ≤ 1

y = e - t → t > 1

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