Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.8 - Ex. 17
Nos problemas de 15 a 18, indicamos como provar que a sequência , definida pelas equações de (4) a (7), converge.
- Mostre que, se , então
- Use os resultados do problema 16 e do item (a) deste problema 17 para mostrar que
- Mostre, por indução matemática, que
,
em que é escolhido de modo que para em .
Passo 1
Nesse problema, vamos usar resultados de exercícios anteriores com mais algumas suposições sobre nossas funções. Vamos também fazer manipulações utilizando integrais para conseguirmos chegar nas equações mostradas. Vamos lá!
Passo 2
- Bom, vamos supor nossa como sendo:
- Pela definição, temos que:
- Inicialmente, vamos supor que
.
Assim, se aplicarmos o módulo na expressão, chegaremos que
Se supormos essa função como uma função constante , teremos que:
Onde esse é nosso máximo valor de pertencente em .
Passo 3
Se pegarmos apenas o valor absoluto da expressão, teremos que toda nossa equação se torna
Usando os resultados que chegamos no exercício anterior, teremos que:
E, como no item anterior chegamos que , podemos substituir esse valor na equação para ter que
Passo 4
para algum valor de . Sendo assim, teremos que pela definição já usada antes
Como já fizemos antes, se pegarmos apenas o valor absoluto, teremos que
E temos que:
Aplicando a desigualdade que vimos no item (a), onde , chegamos que
Como queríamos.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)