32 . Resolva o problema de valor inicialy′ + 2y = g(t), y(0) = 0, em que g t = 1 → 0 ≤ t ≤ 1 =0 → t1

y = e - 2 t e 2 - 1 2 + 1 - e 2 2

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 32

32 . Resolva o problema de valor inicialy′ + 2y = g(t), y(0) = 0, em que

Passo 1

Temos aqui em mãos uma equação Homogênea, um pouco mais fácil que a bernoulli ( dos exercícios anteriores ) porque não precisamos manipular a equação , ela já está prontinha. E para resolver vamos usar o método do termo integrante!!! Em geral a equação solução tem a seguinte cara

Onde nossa função é

Belezinha? Vamos cair dentro então \o/

Passo 2

Essa função do enunciado é uma função famosa, ela é chamada de Função Degrau. O nome é porque ela é literalmente um degrau de escada, 0 em todo o domínio , 1 em uma região bem especifica. As funções Degrau e Função Delta ( a derivada da função degrau ) tem propriedades importantes no estudo de equações diferenciais. Belezinha! Vamos calcular o termo integrante de

Assim o termo integrante é

Agora podemos usar nossa formula para calcular y

Passo 3

Para calcular essa função agora vamos perceber porque a Função Degrau é especial. Vamos repartir o intervalo dessa integral em 3 . E como sabemos g(t) tem os seguintes valores pros intervalos