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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 32

32 . Resolva o problema de valor inicialy′ + 2y = g(t), y(0) = 0, em que

g t = 1 → 0 ≤ t ≤ 1

=   0 → t > 1

Passo 1

Temos aqui em mãos uma equação Homogênea, um pouco mais fácil que a bernoulli ( dos exercícios anteriores ) porque não precisamos manipular a equação , ela já está prontinha. E para resolver vamos usar o método do termo integrante!!! Em geral a equação solução tem a seguinte cara

y = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

Onde nossa função I t   é

I t = e ∫ P t d t

Belezinha? Vamos cair dentro então \o/

Passo 2

Essa função g ( t ) do enunciado é uma função famosa, ela é chamada de Função Degrau. O nome é porque ela é literalmente um degrau de escada, 0 em todo o domínio , 1 em uma região bem especifica. As funções Degrau e Função Delta ( a derivada da função degrau ) tem propriedades importantes no estudo de equações diferenciais. Belezinha! Vamos calcular o termo integrante de

y '   +   2 y   =   g ( t )

Assim o termo integrante é

I t = e ∫ P t d t

I t = e ∫ 2 d t

I t = e 2 t

Agora podemos usar nossa formula para calcular y

y = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

y = e - 2 t ∫ e 2 t   g t d t + C

Passo 3

Para calcular essa função agora vamos perceber porque a Função Degrau é especial. Vamos repartir o intervalo dessa integral em 3 - ∞ , 0 , 0,1 ,   1 , ∞ . E como sabemos g(t) tem os seguintes valores pros intervalos

g t = 1 → 0 ≤ t ≤ 1

g t =   0 → t > 1

Então nossa integração fica

y = e - 2 t ∫ - ∞ 0 e 2 t   g t d t + ∫ 0 1 e 2 t   g t d t + ∫ 1 ∞ e 2 t   g t d t + C

y = e - 2 t ∫ - ∞ 0 e 2 t   0 d t + ∫ 0 1 e 2 t   1 d t + ∫ 1 ∞ e 2 t   0 d t + C

y = e - 2 t ∫ 0 1 e 2 t   d t + C  

y = e - 2 t e 2 t 2 t = 0 1 + C  

y = e - 2 t e 2 - 1 2 + C  

Passo 4

Vamos descobrir o valor de C visto que sabemos os dados de contorno

y(0) = 0

Assim nossa função fica

y = e - 2 t e 2 - 1 2 + C  

0 = e 2 - 1 2 + C  

C = 1 - e 2 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = e - 2 t e 2 - 1 2 + 1 - e 2 2  

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