Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.8 - Ex. 18
Nos problemas de 15 a 18, indicamos como provar que a sequência , definida pelas equações de (4) a (7), converge.
Note que
- Mostre que
- Use os resultados do problema 17 para mostrar que
- Mostre que a soma no item (b) converge quando e, portanto, a soma no item (a) também converge quando . Conclua, então, que a sequência converge, já que é a sequência das somas parciais de uma série convergente infinita.
Passo 1
Nesse problema, vamos usar resultados de exercícios anteriores com mais algumas suposições sobre nossas funções. Vamos também fazer manipulações utilizando somatórias para conseguirmos chegar nas equações mostradas. Vamos lá!
Passo 2
- Temos a seguinte igualdade:
- Temos que para um , nossa expressão do exercício anterior fica
- Bom, se aplicarmos limite na equação do item (b), vamos ter que
Se aplicarmos o valor absoluto em toda equação, teremos
Mas existe uma propriedade da desigualdade do triângulo, que nos diz que
Aplicando isso em nossa igualdade, chegaremos que
Como queríamos mostrar.
Passo 3
e
Dessa forma, podemos mudar um pouco a expressão aplicando a somatória do lado direito da desigualdade. Assim:
Passo 4
Temos que esse limite nos dá que a série converge para . Por comparação, chegamos que a série no item (a) também converge. Sendo assim, isso nos diz que a série é fechada e que existe uma subsequência convergente. Dessa forma, analisando os termos individuais da série, vemos que
E isso nos diz que nossa série é convergente.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)